Лемма

[Antichny]

Здравствуйте, не разобрался в доказательстве Леммы:
Пусть $T_{n}(x)= \begin{cases} \left\lbrace nx\right\rbrace,&\text{если $x\ne 1$;}\\ 1,&\text{если $x=1$;}\\ \end{cases}$



Если $ a, b $ целые положительные числа, тогда для всех $x\in [0,1]$
$ T_{a}(T_{b}(x))=T_{ab}(x).$

Proof: Again, this proof can be done geometrically, noticing that each of the line segments that constitute the graph of $T_{b}$ has as its image the interval [O, 1], so the graph of $T_{a}$ will be replicated inside each of these corresponding intervals, as shown in FIGURE2.



На основании чего автор утверждает, что "т.к. каждый линейный сегмент графика, составляющих $ T_{b}$, имеет в качестве своего образа, отрезок [0,1], график $T_{a}$ будет повторён внутри каждого из соответствующих интервалов"? Конечно, можно влоб построить $T_{2}(T_{4}(x))$ и прийти к $T_{8}$, но сформулировано же для общего случая?

[demolishka]

Образ линейного сегмента (полуинтервала без правого конца), вообще говоря, не отрезок $[0,1]$, а полуинтервал $[0,1)$. Но это не важно. Важно то, что такое соответствие взаимно однозначно, т. е. когда $x$ пробегает линейный сегмент, то $T_{b}(x)$ линейно слева-направо пробегает полуинтервал $[0,1)$. Далее, нетрудно видеть, что в рассматриваемом линейном сегменте график $T_{a}(T_{b}(x))$ тот, о котором и говорится (с некоторым замечанием про значение на правом конце сегмента).