2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение04.12.2017, 23:39 


03/12/17
4
Ростов-на-Дону
В учебнике Кострикина Основы алгебры ч.1. Ниже теорема и доказательство.
Отображение $f:X\to Y$ тогда и только тогда имеет обратное, когда оно взаимно однозначно (биективно).
Доказательство. Предположим вначале, что $f$ обладает обратным $g=f^{-1}$. Тогда из равенств (1) и из леммы вытекает как
сюръективность, так и инъективность $f$. Другими словами, $f$ биективно. Обратно: предположив $f$ биективным, мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$. Положив $g(y)=x$, мы определим отображение $g:Y\to X$, обладающее свойствами (1). Значит, $f^{-1}=g$ .

Если
$fg=e_Y,  gf=e_X  (1)$
, то $f$ обратна к $g$
Лемма. Если
$f:X\to Y, g:Y\to X$

— любые отображения, для которых $gf = e_X$, то $f$ инъективно, а $g$ сюръективно.

Первая часть доказательства понятна. Непонятна в обратную сторону. А именно, для чего пишем
это. Как это используется дальше?
Цитата:
мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$.

Далее
Цитата:
Положив $g(y)=x$, мы определим отображение $g:Y\to X$, обладающее свойствами (1).

откуда следует, что оно обладает свойствами (1) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 01:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
Как раз из определения $g$, которое возможно благодаря первому фрагменту: если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного. В этих случаях используемое определение $g$ не будет корректным. Для доказательства свойств разверните композиции по определению: $f\circ g = e_Y$ означает ровно $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to X$ и $\forall y\in Y.\,f(g(y)) = y$, вот и докажите, что это действительно так, и со вторым равенством то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 12:31 


03/12/17
4
Ростов-на-Дону
arseniiv, спасибо за ответ.
разворачивая fg получим
$fg(y)=f(g(y))=f(x)=y\Rightarrow fg=e_Y $ (а),
теперь gf, получим
$gf(x)=g(f(x))=g(y)=x \Rightarrow gf=e_X$ (б),
а по (1) это означает, что $g$ обратна к $f$. Вопрос. В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) именно поэтому
Цитата:
если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного.
то есть потому что x здесь существует и единственный ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 14:07 


01/06/15
528
С.-Петербург
slava2955 в сообщении #1272191 писал(а):
Вопрос. В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) именно поэтому
Цитата:
если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного.
то есть потому что x здесь существует и единственный ?
slava2955, по-моему Вы всё запутываете, помещая неуместную цитату. На её месте должно быть определение биекции (потому как $f$ у нас биективно по условию). Вообще тут, как мне кажется, всё весьма прозрачно. Если считаете какой-то фрагмент лишним - выкиньте его, предложите свою цепочку рассуждений.

Кстати, в преобразованиях (а) и (б) существенным моментом, не отмеченном в Вашей записи, является справедливость равенств для $\forall y\in Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 16:26 


03/12/17
4
Ростов-на-Дону
Walker_XXI , такое рассуждение верно?В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) ] потому что x здесь существует и единственный для любого $y$ из $Y$, что следует в свою очередь из биективности $f$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 18:44 


01/06/15
528
С.-Петербург
slava2955 в сообщении #1272258 писал(а):
Walker_XXI , такое рассуждение верно?В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) ] потому что x здесь существует и единственный для любого $y$ из $Y$, что следует в свою очередь из биективности $f$?
Вместо строгости и последовательности рассуждений вносите сумбур и размытость. Что такое $x$ и как $g$ связано с $f$? Доказываемое утверждение почти тривиально. Поэтому либо говорим: "Всё просто, кто хочет - сам докажет", либо приводим подробные строгие рассуждения. Посмотрите доказательство из учебника. Из биективности следует что для любого $y$ из $Y$ существует единственный прообраз $x$. Поэтому мы можем написать $f(x)=y$. Для чего пишем это и как это используется дальше? А таким образом мы вводим в рассмотрение пресловутый элемент $x$ и строим отображение $g$. Ну а дальше чисто алгебраические преобразования/подстановки (проверяем свойства (1)). Вы же предлагаете всё это выкинуть и оперировать непонятно чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 23:25 


03/12/17
4
Ростов-на-Дону
Walker_XXI , я просто пытаюсь понять правильно. Может я не верно уточнил во втором сообщении. Я хотел узнать то, что $g$ определяется именно опираясь на это
Цитата:
Обратно: предположив $f$ биективным, мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group