2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение04.12.2017, 23:39 


03/12/17
4
Ростов-на-Дону
В учебнике Кострикина Основы алгебры ч.1. Ниже теорема и доказательство.
Отображение $f:X\to Y$ тогда и только тогда имеет обратное, когда оно взаимно однозначно (биективно).
Доказательство. Предположим вначале, что $f$ обладает обратным $g=f^{-1}$. Тогда из равенств (1) и из леммы вытекает как
сюръективность, так и инъективность $f$. Другими словами, $f$ биективно. Обратно: предположив $f$ биективным, мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$. Положив $g(y)=x$, мы определим отображение $g:Y\to X$, обладающее свойствами (1). Значит, $f^{-1}=g$ .

Если
$fg=e_Y,  gf=e_X  (1)$
, то $f$ обратна к $g$
Лемма. Если
$f:X\to Y, g:Y\to X$

— любые отображения, для которых $gf = e_X$, то $f$ инъективно, а $g$ сюръективно.

Первая часть доказательства понятна. Непонятна в обратную сторону. А именно, для чего пишем
это. Как это используется дальше?
Цитата:
мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$.

Далее
Цитата:
Положив $g(y)=x$, мы определим отображение $g:Y\to X$, обладающее свойствами (1).

откуда следует, что оно обладает свойствами (1) ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 01:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Как раз из определения $g$, которое возможно благодаря первому фрагменту: если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного. В этих случаях используемое определение $g$ не будет корректным. Для доказательства свойств разверните композиции по определению: $f\circ g = e_Y$ означает ровно $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to X$ и $\forall y\in Y.\,f(g(y)) = y$, вот и докажите, что это действительно так, и со вторым равенством то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 12:31 


03/12/17
4
Ростов-на-Дону
arseniiv, спасибо за ответ.
разворачивая fg получим
$fg(y)=f(g(y))=f(x)=y\Rightarrow fg=e_Y $ (а),
теперь gf, получим
$gf(x)=g(f(x))=g(y)=x \Rightarrow gf=e_X$ (б),
а по (1) это означает, что $g$ обратна к $f$. Вопрос. В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) именно поэтому
Цитата:
если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного.
то есть потому что x здесь существует и единственный ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 14:07 
Заслуженный участник


01/06/15
832
С.-Петербург
slava2955 в сообщении #1272191 писал(а):
Вопрос. В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) именно поэтому
Цитата:
если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного.
то есть потому что x здесь существует и единственный ?
slava2955, по-моему Вы всё запутываете, помещая неуместную цитату. На её месте должно быть определение биекции (потому как $f$ у нас биективно по условию). Вообще тут, как мне кажется, всё весьма прозрачно. Если считаете какой-то фрагмент лишним - выкиньте его, предложите свою цепочку рассуждений.

Кстати, в преобразованиях (а) и (б) существенным моментом, не отмеченном в Вашей записи, является справедливость равенств для $\forall y\in Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 16:26 


03/12/17
4
Ростов-на-Дону
Walker_XXI , такое рассуждение верно?В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) ] потому что x здесь существует и единственный для любого $y$ из $Y$, что следует в свою очередь из биективности $f$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 18:44 
Заслуженный участник


01/06/15
832
С.-Петербург
slava2955 в сообщении #1272258 писал(а):
Walker_XXI , такое рассуждение верно?В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) ] потому что x здесь существует и единственный для любого $y$ из $Y$, что следует в свою очередь из биективности $f$?
Вместо строгости и последовательности рассуждений вносите сумбур и размытость. Что такое $x$ и как $g$ связано с $f$? Доказываемое утверждение почти тривиально. Поэтому либо говорим: "Всё просто, кто хочет - сам докажет", либо приводим подробные строгие рассуждения. Посмотрите доказательство из учебника. Из биективности следует что для любого $y$ из $Y$ существует единственный прообраз $x$. Поэтому мы можем написать $f(x)=y$. Для чего пишем это и как это используется дальше? А таким образом мы вводим в рассмотрение пресловутый элемент $x$ и строим отображение $g$. Ну а дальше чисто алгебраические преобразования/подстановки (проверяем свойства (1)). Вы же предлагаете всё это выкинуть и оперировать непонятно чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот
Сообщение05.12.2017, 23:25 


03/12/17
4
Ростов-на-Дону
Walker_XXI , я просто пытаюсь понять правильно. Может я не верно уточнил во втором сообщении. Я хотел узнать то, что $g$ определяется именно опираясь на это
Цитата:
Обратно: предположив $f$ биективным, мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: MChagall


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group