Отображение имеет обратное, если биективное и наоборот

[slava2955]

В учебнике Кострикина Основы алгебры ч.1. Ниже теорема и доказательство.
Отображение $f:X\to Y$ тогда и только тогда имеет обратное, когда оно взаимно однозначно (биективно).
Доказательство. Предположим вначале, что $f$ обладает обратным $g=f^{-1}$. Тогда из равенств (1) и из леммы вытекает как
сюръективность, так и инъективность $f$. Другими словами, $f$ биективно. Обратно: предположив $f$ биективным, мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$. Положив $g(y)=x$, мы определим отображение $g:Y\to X$, обладающее свойствами (1). Значит, $f^{-1}=g$ .

Если

$fg=e_Y, gf=e_X (1)$

, то $f$ обратна к $g$
Лемма. Если

$f:X\to Y, g:Y\to X$

— любые отображения, для которых $gf = e_X$, то $f$ инъективно, а $g$ сюръективно.

Первая часть доказательства понятна. Непонятна в обратную сторону. А именно, для чего пишем
это. Как это используется дальше?

Цитата:

мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$.

Далее

Цитата:

Положив $g(y)=x$, мы определим отображение $g:Y\to X$, обладающее свойствами (1).

откуда следует, что оно обладает свойствами (1) ?

[arseniiv]

Как раз из определения $g$, которое возможно благодаря первому фрагменту: если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного. В этих случаях используемое определение $g$ не будет корректным. Для доказательства свойств разверните композиции по определению: $f\circ g = e_Y$ означает ровно $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to X$ и $\forall y\in Y.\,f(g(y)) = y$, вот и докажите, что это действительно так, и со вторым равенством то же.

[slava2955]

arseniiv, спасибо за ответ.
разворачивая fg получим

$fg(y)=f(g(y))=f(x)=y\Rightarrow fg=e_Y $ (а),

теперь gf, получим

$gf(x)=g(f(x))=g(y)=x \Rightarrow gf=e_X$ (б),

а по (1) это означает, что $g$ обратна к $f$. Вопрос. В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) именно поэтому

Цитата:

если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного.

то есть потому что x здесь существует и единственный ?

[Walker_XXI]

slava2955 в сообщении #1272191 писал(а):

Вопрос. В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) именно поэтому

Цитата:

если $f$ не инъективна, у $y$ может быть больше одного прообраза, а если $f$ не сюръективна, меньше одного.

то есть потому что x здесь существует и единственный ?

slava2955, по-моему Вы всё запутываете, помещая неуместную цитату. На её месте должно быть определение биекции (потому как $f$ у нас биективно по условию). Вообще тут, как мне кажется, всё весьма прозрачно. Если считаете какой-то фрагмент лишним - выкиньте его, предложите свою цепочку рассуждений.

Кстати, в преобразованиях (а) и (б) существенным моментом, не отмеченном в Вашей записи, является справедливость равенств для $\forall y\in Y$.

[slava2955]

Walker_XXI , такое рассуждение верно?В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) ] потому что x здесь существует и единственный для любого $y$ из $Y$, что следует в свою очередь из биективности $f$?

[Walker_XXI]

slava2955 в сообщении #1272258 писал(а):

Walker_XXI , такое рассуждение верно?В преобразованиях выше, мы можем писать $f(g(y))=f(x)$(а) и $g(y)=x$(б) ] потому что x здесь существует и единственный для любого $y$ из $Y$, что следует в свою очередь из биективности $f$?

Вместо строгости и последовательности рассуждений вносите сумбур и размытость. Что такое $x$ и как $g$ связано с $f$? Доказываемое утверждение почти тривиально. Поэтому либо говорим: "Всё просто, кто хочет - сам докажет", либо приводим подробные строгие рассуждения. Посмотрите доказательство из учебника. Из биективности следует что для любого $y$ из $Y$ существует единственный прообраз $x$. Поэтому мы можем написать $f(x)=y$. Для чего пишем это и как это используется дальше? А таким образом мы вводим в рассмотрение пресловутый элемент $x$ и строим отображение $g$. Ну а дальше чисто алгебраические преобразования/подстановки (проверяем свойства (1)). Вы же предлагаете всё это выкинуть и оперировать непонятно чем.

[slava2955]

Walker_XXI , я просто пытаюсь понять правильно. Может я не верно уточнил во втором сообщении. Я хотел узнать то, что $g$ определяется именно опираясь на это

Цитата:

Обратно: предположив $f$ биективным, мы для любого $y\inY$ найдём единственный элемент $x\inX$, для которого $f(x)=y$.