Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений

[arseniiv]

ctdr в сообщении #1272338 писал(а):

1. просто определить эквивалентность как мы хотим

Но как именно «мы хотим»? Проблема в том, что мы не можем, в частности, в данном случае применять к одной матрице элементарные преобразования и получить другую — ни в одну сторону, ни обратно. Как её решить, как метафорически обратить необратимое?

(Спойлеры; читать только в крайнем случае)

Просто взять симметричное и потом транзитивное замыкание отношения «(1) получается из (2) применением элементарных преобразований». Если вам не знакомы замыкания отношений, представьте граф, где вершины — матрицы, а дуги (стрелочки) идут от матрицы ко всем получающимся из неё элементарными преобразованиями. Эквивалентными две матрицы будут, если по стрелочкам можно попасть из одной в другую, не обращая внимание на направление стрелок. В вашем примере, есть такой «ненаправленный путь» $A\to C\gets B$, где $C = \operatorname{diag}(6,6)$. svv намекал ровно на всё это.

(Как это связано с первым: из такого графа можно получить граф, в котором стрелки будут между любыми эквивалентными матрицами и только ими, сделав кое-что вполне определённое. Сначала добавим к каждой стрелке $A\to B$ идущую в обратную сторону $B\to A$ (если её ещё не было) — это сделает из нашего графа граф, представляющий симметричное замыкание отношения, представляемого исходным. Теперь эквивалентны матрицы, между которыми есть (обычный, направленный) путь. Теперь сделаем транзитивное замыкание — если из вершины есть путь в другую, нарисуем между ними стрелку (опять же, если не было).)

[ctdr]

Поставил лампу на край стола, назвал такой свет крайним, а чтение при нём - крайним случаем :)

Чётко описано! Я такое и имел ввиду. Только я бы описывал это долго, и нудно (поскольку не использовал бы графы). Ну и зачем мучить людей - уважаемых ЗУ, просить вас это читать. Выбрал формулировку "определить как мы хотим", "как нам надо". Если буду умным как Вы - тоже буду так щеголять, категориями всякими! :) Спасибо!

Остаётся понять указание к задаче - см. низ моего предыдущего поста.

[ctdr]

Если предположить что в конце условия исходной задачи надо дописать "и столбцов", то задача кмк тоже почти очевидна. (ну и считаем что в кольце). Надо взять задачу 8.20, где вводится целочисленная эквивалентность решений ($x \sim y \Longleftrightarrow x=U y, \det U=1$) и соответственно целочисленная эквивалентность матриц систем уравнений. Дальше 8.19 - см. мой пред. пост. Ну и всё. $A \sim P_A \begin{pmatrix} D_A & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} Q_A$. Здесь только э.п. 1 и 2 типа (3-го нет), и $\det P_A=\det Q_A=1$. Аналогично для $B$. Матрицы с $D$ и нулями равны. Обращаем: $B=P_B P_A^{-1} A Q_A^{-1} Q_B$. Тогда всё встаёт на свои места: задача - продолжение той серии. Видимо это имелось ввиду.

Очень хорошо что мы рассмотрели все варианты (поле; кольцо с классическим смыслом экв-сти решений; кольцо с целочисленным смыслом). Ещё раз всем спасибо. Извините что сильно туплю, не специально :(