2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
ctdr в сообщении #1272338 писал(а):
1. просто определить эквивалентность как мы хотим
Но как именно «мы хотим»? :-) Проблема в том, что мы не можем, в частности, в данном случае применять к одной матрице элементарные преобразования и получить другую — ни в одну сторону, ни обратно. Как её решить, как метафорически обратить необратимое?

(Спойлеры; читать только в крайнем случае)

Просто взять симметричное и потом транзитивное замыкание отношения «(1) получается из (2) применением элементарных преобразований». Если вам не знакомы замыкания отношений, представьте граф, где вершины — матрицы, а дуги (стрелочки) идут от матрицы ко всем получающимся из неё элементарными преобразованиями. Эквивалентными две матрицы будут, если по стрелочкам можно попасть из одной в другую, не обращая внимание на направление стрелок. В вашем примере, есть такой «ненаправленный путь» $A\to C\gets B$, где $C = \operatorname{diag}(6,6)$. svv намекал ровно на всё это.

(Как это связано с первым: из такого графа можно получить граф, в котором стрелки будут между любыми эквивалентными матрицами и только ими, сделав кое-что вполне определённое. Сначала добавим к каждой стрелке $A\to B$ идущую в обратную сторону $B\to A$ (если её ещё не было) — это сделает из нашего графа граф, представляющий симметричное замыкание отношения, представляемого исходным. Теперь эквивалентны матрицы, между которыми есть (обычный, направленный) путь. Теперь сделаем транзитивное замыкание — если из вершины есть путь в другую, нарисуем между ними стрелку (опять же, если не было).)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 21:28 
Аватара пользователя


10/11/17
58
Поставил лампу на край стола, назвал такой свет крайним, а чтение при нём - крайним случаем :)

Чётко описано! Я такое и имел ввиду. Только я бы описывал это долго, и нудно (поскольку не использовал бы графы). Ну и зачем мучить людей - уважаемых ЗУ, просить вас это читать. Выбрал формулировку "определить как мы хотим", "как нам надо". Если буду умным как Вы - тоже буду так щеголять, категориями всякими! :) Спасибо!

Остаётся понять указание к задаче - см. низ моего предыдущего поста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение06.12.2017, 00:01 
Аватара пользователя


10/11/17
58
Если предположить что в конце условия исходной задачи надо дописать "и столбцов", то задача кмк тоже почти очевидна. (ну и считаем что в кольце). Надо взять задачу 8.20, где вводится целочисленная эквивалентность решений ($x \sim y \Longleftrightarrow x=U y, \det U=1$) и соответственно целочисленная эквивалентность матриц систем уравнений. Дальше 8.19 - см. мой пред. пост. Ну и всё. $A \sim P_A \begin{pmatrix} D_A & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} Q_A$. Здесь только э.п. 1 и 2 типа (3-го нет), и $\det P_A=\det Q_A=1$. Аналогично для $B$. Матрицы с $D$ и нулями равны. Обращаем: $B=P_B P_A^{-1} A Q_A^{-1} Q_B$. Тогда всё встаёт на свои места: задача - продолжение той серии. Видимо это имелось ввиду.

Очень хорошо что мы рассмотрели все варианты (поле; кольцо с классическим смыслом экв-сти решений; кольцо с целочисленным смыслом). Ещё раз всем спасибо. Извините что сильно туплю, не специально :(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group