2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение04.12.2017, 16:51 
Аватара пользователя


10/11/17
28
Задача 8.25:
Пусть $A$ и $B$ - матрицы одинаковых размеров, причём однородные системы линейных уравнений с матрицами $A$ и $B$ эквивалентны. Доказать что от $A$ к $B$ можно перейти элементарными преобразованиями строк.

Не пойму условие.

Для вещественных матриц ясно (ступенч. вид - очевидно). Однако: (1) задача замыкает группу задач с целочисленными системами и решениями, и (2) находится в разделе помеченном "* * *", т.е. (типа) трудная.

Для целочисленных преобразований, кмк, утверждение неверно. Контр-пример:
$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$
Они эквивалентны, т.к. обе имеют лишь нулевое решение. Линейные комбинации нуля и простого числа (это числа в любом столбце) дадут, очевидно, кратные этому простому. Поэтому с матрицей $A$ будут получаться лишь числа вида $2k$, а с $B$ - $3k$. Т.е. не переведутся.

Что я не понимаю, или что имеется ввиду в задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение04.12.2017, 17:17 
Заслуженный участник


16/02/13
2943
Владивосток
А что, поделить строку на 2 я не имею права? Если результат будет целым, естественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение04.12.2017, 17:30 
Аватара пользователя


10/11/17
28
iifat в сообщении #1271964 писал(а):
поделить строку на 2 я не имею права?
Я полагаю - нет. Предыдущие задачи - там всякие НОДы миноров. Т.е. элементарные преобразования в кольце $\mathbb Z$, а не в поле $\mathbb Q$. Вообще, конечно, для матриц над любым полем (а не только над $\mathbb R$) задача мне также видится очевидной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение04.12.2017, 17:59 
Заслуженный участник


23/07/08
7545
Харьков
Давайте тогда не «делить», а сокращать на общий для всех элементов строки ненулевой целочисленный множитель. Эта операция законна?
ctdr в сообщении #1271960 писал(а):
задача замыкает группу задач с целочисленными системами и решениями
Взгляните на это иначе: вплоть до этой задачи целочисленность оговаривалась явно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение04.12.2017, 18:53 
Аватара пользователя


10/11/17
28
svv в сообщении #1271982 писал(а):
Давайте тогда не «делить», а сокращать на общий для всех элементов строки ненулевой целочисленный множитель. Эта операция законна?
Конечно, нет. Сокращают элементы в уравнениях, а не в выражении. Есть аналог - э.п. типа (III) (редко применяемые, и поэтому, пожалуй, всегда явно оговариваемые) - умножение строки на число - стр. 91 учебника (гл. 2, пар. 3, пункт 6, абзац 3). Умножение.

svv в сообщении #1271982 писал(а):
Взгляните на это иначе: вплоть до этой задачи целочисленность оговаривалась явно.
Я повторюсь: если речь о поле, то возникает некоторый диссонанс в уровне трудности соседних задач.

Вообще, я не защищаю взгляд что здесь имеется ввиду именно кольцо. Я спрашиваю. Я не стесняюсь задавать такие дурацкие вопросы. Не стесняйтесь пожалуйста и вы (ко всем обращаюсь) сказать кратко, и прямо ("поле!"). (и соответственно взять при этом ответственность утверждать что ничего не-очевидного авторы задачника здесь ввиду не имели)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение04.12.2017, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15156
Новомосковск
ctdr в сообщении #1271994 писал(а):
Конечно, нет. Сокращают элементы в уравнениях, а не в выражении.
А у нас речь и идёт об уравнениях. Линейных и однородных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение04.12.2017, 22:07 
Аватара пользователя


10/11/17
28
Someone в сообщении #1272002 писал(а):
А у нас речь и идёт об уравнениях. Линейных и однородных.
А, понял что имели ввиду svv и iifat: перейти не от самой матрицы $A$, а от системы уравнений с этой матрицей. Я бы сказал это несколько вольная трактовка формулировки. (там есть задачи на перевод именно матриц, так что я до неё не догадался).

Заодно давайте зафиксируем другую непонятку: рассматривается кольцо $\mathbb Z$ (а не поле).

UPD: Тогда надо ещё подумать, но вроде ок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 00:27 
Заслуженный участник


23/07/08
7545
Харьков
Я имел в виду такую вещь. Давайте запишем символически элементарное преобразование — умножение строки на ненулевую константу $k$:
$$\begin{bmatrix}\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{i,n-1} & a_{i,n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{i,n-1} & ka_{i,n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix}$$(остальные строки не меняются). Я просто за то, чтобы иметь возможность выполнять это преобразование в обе стороны. Эквивалентность — отношение симметричное, поэтому, если от $A$ можно перейти к $B$ преобразованием, сохраняющим эквивалентность, то и от $B$ к $A$ разрешено переходить тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 01:01 
Аватара пользователя


10/11/17
28
Someone
Да, получается, из одинаковости решений следует равенство ступенчатых матриц.

Вопрос всё-таки в том что это совсем не то же самое, что было в исходной формулировке. Сейчас мы решили задачу: Пусть... Доказать что элементарными преобразованиями строк однородных систем уравнений $Ax=0$ и $Bx=0$ эти системы можно привести к виду, в котором их матрицы совпадут.

svv
Я пока не прокомментирую, подожду может кто другой что прояснит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 01:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
Ну вот смотрите:
ctdr в сообщении #1271960 писал(а):
Пусть $A$ и $B$ - матрицы одинаковых размеров, причём однородные системы линейных уравнений с матрицами $A$ и $B$ эквивалентны. Доказать что от $A$ к $B$ можно перейти элементарными преобразованиями строк.
Отсюда видно, что «можно перейти элементарными преобразованиями строк» должно быть отношением эквивалентности. Попробуем формализовать это «можно перейти»: допустим, это должно значить, что существуют элементарные матрицы $P_1,\ldots,P_n,Q_1,\ldots,Q_m$ такие, что $P_1\cdots P_n AQ_1\cdots Q_m = B$. Мы рассматриваем, по-вашему, произвольное кольцо. Попробуйте теперь доказать, что получилось отношение эквивалентности: ан нет, у вас выйдет только рефлексивность, а для остального от элементарных матриц (типа III) потребуется обратимость, не всегда теперь имеющаяся (где мы и застаём стартовый пост). Это всего лишь значит, что мы неправильно формализовали штуку. Следующим шагом будет формализация, где требуется $P_1\cdots P_n AQ_1\cdots Q_m = R_1\cdots R_kBS_1\cdots S_\ell$. Проверьте, что и она не подходит (проблемы с обратимостью не решает). Подумайте, что всё-таки можно сделать, посмотрев на
svv в сообщении #1272080 писал(а):
Эквивалентность — отношение симметричное, поэтому, если от $A$ можно перейти к $B$ преобразованием, сохраняющим эквивалентность, то и от $B$ к $A$ разрешено переходить тоже.
В принципе, можно не формализовать. Хотя вы хотели от задачи, чтобы там было ***, а это как раз если и не оно и не то, тоже может быть интересным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 02:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15156
Новомосковск
Вообще-то, неплохо бы иметь список того, что называют элементарными преобразованиями строк. Его надо найти в конспекте или в учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 02:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
Тут ТС ссылается на том 1 Кострикина «Введение в алгебру» (ведёт куда надо):
ctdr в сообщении #1271994 писал(а):
гл. 2, пар. 3, пункт 6
хотя и написал об этом не очень прозрачно (пришлось наобум смотреть, раз упомянут задачник Кострикина, и повезло угадать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 09:59 


18/01/15
221
У меня старое издание задачника, поэтому не нашел саму задачу. Но по моему и без того ясно в чем дело: целочисленность ни при чем, просто эта задача рядом с теми оказалась. Над полем решать надо. Не более того, зуб даю! А что при задаче звездочка --- оттого, что хотя утверждение и простое, но все-таки там есть подводные камни для понимания. Я во всяком случае на пару минут в ступор впал. Вы ее быстро решили --- ну и молодец. Короче, никакой проблемы нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 18:27 


18/01/15
221
Скачал таки последнее издание задачника (2009), нашел там задачу 8.25, убедился, что все так и есть, совпадение случайное. В старом издании в параграфе было 24 задачи, из них последние 13 про целочисленность; а потом еще две дописали, с целочисленностью не связанные. И, кстати, она в этом издании без звездочки. Правда, там и следующая задача 8.26, которая действительно трудная (по научному называется "сходимость метода простой итерации"), тоже почему-то без звездочки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений
Сообщение05.12.2017, 20:12 
Аватара пользователя


10/11/17
28
Всем спасибо! Прочитайте-прокомментируйте ещё вот это пожалуйста.

1. Если в поле.

Тут я лоханулся немного: я думал что всегда можно обойтись э.п. типа 1 и 2 (и мой же пример матриц $A$ и $B$ с разными определителями почему-то меня не смутил). Когда число уравнений в ступ. виде равно числу главных неизвестных - нужны э.п. типа 3. Когда уравнений больше, можно обойтись без э.п. типа 3 - только 1 и 2 типа: можно использовать нижнюю нулевую строку для любых умножений любых других (ненулевых) строк.

(Случай поля - не столько очевидно, сколько (мне) неинтересно и прямолинейно)

Ну вот берём и шажками доказываем (от противного) что число уравнений одинаково, что главные и свободные неизвестные в тех же столбцах, что уравнения отличаются лишь множителем, и т.д. Времени эти слова писать-читать уйдёт больше, чем самому всё прокрутить в голове. Неинтересно, и именно в этом смысле - непонятно что эта задача там делает.


Подводных камней я и сейчас здесь не вижу. Но это не потому что я "молодец, быстро решил", а потому что я не продумываю всё тщательно :(

2. Если в кольце.

В целом - похоже. Но э.п. типа 3 мало, нужно ввести дополнительную эквивалентность матриц - по аналогии с сокращением элементов в однородном уравнении. (причём даже если внизу будет нулевая строка, она не помогает, как в случае поля). Такая эквивалентность ни в учебнике, ни в задачнике не определялась, но можно определить. Тогда утверждение будет верным.

arseniiv в сообщении #1272109 писал(а):
Подумайте, что всё-таки можно сделать, посмотрев на...
Мне приходит в голову 2 мысли: 1. просто определить эквивалентность как мы хотим (это ваша, всех писавших, мысль? дошла наконец-то?), и 2. если добавить э.п. по столбцам (у Вас там там матрицы справа $Q$), то получим всю эту кухню приведения к диагональной форме с НОД-ами миноров. 2-ая мысль мне понравилась конечно, там серия задач (и для жордановой формы матриц такое тоже применяется, емнип).

(кстати, она в этом издании без звездочки)

(Видимо в этом издании) у отдельных задач нет звёздочек. Звёздочки отделяют раздел внутри параграфа с (типа) трудными задачами. Для 8.26 есть указание, с ним мне показалось легко. Я почти всегда указания сразу читаю. Наверно поэтому недогадлив :(


Я давно решал эту задачу... И забыл совсем, извиняюсь. Там к ней указание есть. Использовать другую задачу, 8.19. И она целочисленная. В моей формулировке: целочисленная матрица с помощью целочисленных э.п. строк и столбцов однозначно приводится к виду: $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $A=\operatorname{diag} \{d_1,...,d_r\}$, $d_i \ne 0, d_i | d_{i+1}$. А $d_i$ - это НОД миноров $i$-го порядка. Т.е. здесь критично используется смешивание по столбцам, которого нет в исходной задаче.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group