Лучи пересекаются - кривая получается

[fred1996]

Дана единичная окружность в центре координат $O$
На ней проведена хорда $AB$ пусть для определенности в горизонтальном направлении. Она не совпадат с диаметром. Проведем произвольный диаметр $XY$ и проведем лучи $AX$ и $BY$ до их пересечения в точке $P$. Я дал два различных рисунка для наглядности, чтобы избежать дальнейших вопросов. Теперь начинаем крутить диаметр $XY$ вокруг центра $O$.
Вычислить форму кривой, которую пробегает точка $P$

Очевидно, что задачка не олимпиадная, поскольку требует прямых вычистений. Ну для кого-то и более сложные задачи требуют всего лишь знания стандартных трюков, приравниваемых к прямым вычислениям. Я ее поместил в этот раздел может в качестве добротной вычислительной практики. Хотя, вдруг найдутся умельцы, которые с помощью циркуля и линейки построят что нужно. В общем задача из разряда красивых геометрических задач.

#762

[kotenok gav]

Geogebra говорит о том что точка P описывает прямую проходящую через центр круга.

-- 06 дек 2017, 02:30 --

Ой, нечто похожее на гиперболу.

[fred1996]

kotenok gav
Ай, а может стоит сначала задачку решить?

[arseniiv]

(kotenok gav)

Гадать долго будете? Подвигайте $A$ и $B$.

-- Вт дек 05, 2017 21:25:48 --

Эмпирически это окружность, пересекающая данную под прямыми углами (ой, забыл название) в вершинах хорды. Исходя из этого можно, видимо, попытаться найти какое-нибудь решение покрасивее… Учитывая, что такая окружность инвариантна при инверсии относительно данной, можно сообразить что-нибудь на комплексной плоскости, например(?)

[Dan B-Yallay]

Ну по трём точкам окружность можно построить?

[fred1996]

Dan B-Yallay в сообщении #1272325 писал(а):

Ну по трём точкам окружность можно построить?

Мало того, ее можно построить по двум точкам. Она ж симметричная.
Наметилось два способа решения.
Первый в лоб аналитически. Второй - просто построить окружность. По двум точкам. А как доказать, что это окружность на пальцах?

[wrest]

arseniiv в сообщении #1272311 писал(а):

пересекающая данную под прямыми углами (ой, забыл название)

Ортогональная :)

fred1996 в сообщении #1272296 писал(а):

Хотя, вдруг найдутся умельцы, которые с помощью циркуля и линейки построят что нужно.

Через точки $A$ и $B$ проводим касательные к заданной окружности. На пересечении этих касательных ставим точку $Z$ и из неё как из центра проводим окружность радиусом $ZA$ - вот эту окружность и будет пробегать точка $P$.

[g______d]

Из второй картинки проще всего увидеть. Достаточно показать, что угол $\angle YPX$ постоянный. Это следует из того, что $\angle BYX+\angle AXY$ постоянно. А это, в свою очередь, следует из того, что сумма дуг $AY$ и $BX$ постоянна (и равна половине окружности минус дуга $AB$).

-- Вт, 05 дек 2017 11:51:34 --

А, нет, опять липа, но снова легко исправить. Сам диаметр $XY$ вращается, поэтому надо смотреть не на угол $\angle YPX$, а на $\angle APB$, они равны.

[fred1996]

Если уж строить окружность, то проще всего расположить диаметр $XY$ параллельно хорде $AB$. Тогда в одном случае пересечение лучей даст нижнюю точку окружности, а перевернув диаметр, получим верхнюю точку.



Пусть у нас $\angle BOY=\alpha$
Тогда нетрудно сосчитать, что у верхней точки окружности $y$ координата будет $\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$, а у нижней $\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$
Таким образом радиус будет: $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, а центр в точке $\frac{1}{\sin\alpha}$

То есть все уравнение окружности выглядит так:
$x^2+(y-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2=\frac{1}{\sin^2\alpha}$
Осталось всего-ничего - доказать, что наша кривая действительно окружность.

[g______d]

fred1996 в сообщении #1272394 писал(а):

Осталось всего-ничего - доказать, что наша кривая действительно окружность.

Эмм, так вроде уже доказано. Если вы про левую картинку, то рассуждение такое же, угол $P$ равен полуразности дуг $AY$ и $XB$, которая постоянна. Т. е. отрезок $AB$ виден из точки $P$ под постоянным углом.

[fred1996]

А, теперь вижу. У нас же точки $A$ и $B$ тоже принадлежат этой кривой. Значит она окружность.