2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 18:44 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Изображение
Дана единичная окружность в центре координат $O$
На ней проведена хорда $AB$ пусть для определенности в горизонтальном направлении. Она не совпадат с диаметром. Проведем произвольный диаметр $XY$ и проведем лучи $AX$ и $BY$ до их пересечения в точке $P$. Я дал два различных рисунка для наглядности, чтобы избежать дальнейших вопросов. Теперь начинаем крутить диаметр $XY$ вокруг центра $O$.
Вычислить форму кривой, которую пробегает точка $P$

Очевидно, что задачка не олимпиадная, поскольку требует прямых вычистений. Ну для кого-то и более сложные задачи требуют всего лишь знания стандартных трюков, приравниваемых к прямым вычислениям. Я ее поместил в этот раздел может в качестве добротной вычислительной практики. Хотя, вдруг найдутся умельцы, которые с помощью циркуля и линейки построят что нужно. В общем задача из разряда красивых геометрических задач.

#762

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 18:56 


21/05/16
4292
Аделаида
Geogebra говорит о том что точка P описывает прямую проходящую через центр круга.

-- 06 дек 2017, 02:30 --

Ой, нечто похожее на гиперболу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:11 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
kotenok gav
Ай, а может стоит сначала задачку решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:16 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(kotenok gav)

Гадать долго будете? Подвигайте $A$ и $B$.


-- Вт дек 05, 2017 21:25:48 --

Эмпирически это окружность, пересекающая данную под прямыми углами (ой, забыл название) в вершинах хорды. Исходя из этого можно, видимо, попытаться найти какое-нибудь решение покрасивее… Учитывая, что такая окружность инвариантна при инверсии относительно данной, можно сообразить что-нибудь на комплексной плоскости, например(?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Ну по трём точкам окружность можно построить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:55 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Dan B-Yallay в сообщении #1272325 писал(а):
Ну по трём точкам окружность можно построить?

Мало того, ее можно построить по двум точкам. Она ж симметричная.
Наметилось два способа решения.
Первый в лоб аналитически. Второй - просто построить окружность. По двум точкам. А как доказать, что это окружность на пальцах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:57 


05/09/16
11468
arseniiv в сообщении #1272311 писал(а):
пересекающая данную под прямыми углами (ой, забыл название)

Ортогональная :)

fred1996 в сообщении #1272296 писал(а):
Хотя, вдруг найдутся умельцы, которые с помощью циркуля и линейки построят что нужно.

Через точки $A$ и $B$ проводим касательные к заданной окружности. На пересечении этих касательных ставим точку $Z$ и из неё как из центра проводим окружность радиусом $ZA$ - вот эту окружность и будет пробегать точка $P$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Из второй картинки проще всего увидеть. Достаточно показать, что угол $\angle YPX$ постоянный. Это следует из того, что $\angle BYX+\angle AXY$ постоянно. А это, в свою очередь, следует из того, что сумма дуг $AY$ и $BX$ постоянна (и равна половине окружности минус дуга $AB$).

-- Вт, 05 дек 2017 11:51:34 --

А, нет, опять липа, но снова легко исправить. Сам диаметр $XY$ вращается, поэтому надо смотреть не на угол $\angle YPX$, а на $\angle APB$, они равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 22:35 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Если уж строить окружность, то проще всего расположить диаметр $XY$ параллельно хорде $AB$. Тогда в одном случае пересечение лучей даст нижнюю точку окружности, а перевернув диаметр, получим верхнюю точку.

Изображение

Пусть у нас $\angle BOY=\alpha$
Тогда нетрудно сосчитать, что у верхней точки окружности $y$ координата будет $\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$, а у нижней $\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$
Таким образом радиус будет: $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, а центр в точке $\frac{1}{\sin\alpha}$

То есть все уравнение окружности выглядит так:
$x^2+(y-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2=\frac{1}{\sin^2\alpha}$
Осталось всего-ничего - доказать, что наша кривая действительно окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
fred1996 в сообщении #1272394 писал(а):
Осталось всего-ничего - доказать, что наша кривая действительно окружность.


Эмм, так вроде уже доказано. Если вы про левую картинку, то рассуждение такое же, угол $P$ равен полуразности дуг $AY$ и $XB$, которая постоянна. Т. е. отрезок $AB$ виден из точки $P$ под постоянным углом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 23:28 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
А, теперь вижу. У нас же точки $A$ и $B$ тоже принадлежат этой кривой. Значит она окружность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group