2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 18:44 
Аватара пользователя


09/10/15
2802
Columbia, Missouri, USA
Изображение
Дана единичная окружность в центре координат $O$
На ней проведена хорда $AB$ пусть для определенности в горизонтальном направлении. Она не совпадат с диаметром. Проведем произвольный диаметр $XY$ и проведем лучи $AX$ и $BY$ до их пересечения в точке $P$. Я дал два различных рисунка для наглядности, чтобы избежать дальнейших вопросов. Теперь начинаем крутить диаметр $XY$ вокруг центра $O$.
Вычислить форму кривой, которую пробегает точка $P$

Очевидно, что задачка не олимпиадная, поскольку требует прямых вычистений. Ну для кого-то и более сложные задачи требуют всего лишь знания стандартных трюков, приравниваемых к прямым вычислениям. Я ее поместил в этот раздел может в качестве добротной вычислительной практики. Хотя, вдруг найдутся умельцы, которые с помощью циркуля и линейки построят что нужно. В общем задача из разряда красивых геометрических задач.

#762

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 18:56 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Geogebra говорит о том что точка P описывает прямую проходящую через центр круга.

-- 06 дек 2017, 02:30 --

Ой, нечто похожее на гиперболу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:11 
Аватара пользователя


09/10/15
2802
Columbia, Missouri, USA
kotenok gav
Ай, а может стоит сначала задачку решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа

(kotenok gav)

Гадать долго будете? Подвигайте $A$ и $B$.


-- Вт дек 05, 2017 21:25:48 --

Эмпирически это окружность, пересекающая данную под прямыми углами (ой, забыл название) в вершинах хорды. Исходя из этого можно, видимо, попытаться найти какое-нибудь решение покрасивее… Учитывая, что такая окружность инвариантна при инверсии относительно данной, можно сообразить что-нибудь на комплексной плоскости, например(?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7231
Ну по трём точкам окружность можно построить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:55 
Аватара пользователя


09/10/15
2802
Columbia, Missouri, USA
Dan B-Yallay в сообщении #1272325 писал(а):
Ну по трём точкам окружность можно построить?

Мало того, ее можно построить по двум точкам. Она ж симметричная.
Наметилось два способа решения.
Первый в лоб аналитически. Второй - просто построить окружность. По двум точкам. А как доказать, что это окружность на пальцах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 19:57 


05/09/16
3577
arseniiv в сообщении #1272311 писал(а):
пересекающая данную под прямыми углами (ой, забыл название)

Ортогональная :)

fred1996 в сообщении #1272296 писал(а):
Хотя, вдруг найдутся умельцы, которые с помощью циркуля и линейки построят что нужно.

Через точки $A$ и $B$ проводим касательные к заданной окружности. На пересечении этих касательных ставим точку $Z$ и из неё как из центра проводим окружность радиусом $ZA$ - вот эту окружность и будет пробегать точка $P$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Из второй картинки проще всего увидеть. Достаточно показать, что угол $\angle YPX$ постоянный. Это следует из того, что $\angle BYX+\angle AXY$ постоянно. А это, в свою очередь, следует из того, что сумма дуг $AY$ и $BX$ постоянна (и равна половине окружности минус дуга $AB$).

-- Вт, 05 дек 2017 11:51:34 --

А, нет, опять липа, но снова легко исправить. Сам диаметр $XY$ вращается, поэтому надо смотреть не на угол $\angle YPX$, а на $\angle APB$, они равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 22:35 
Аватара пользователя


09/10/15
2802
Columbia, Missouri, USA
Если уж строить окружность, то проще всего расположить диаметр $XY$ параллельно хорде $AB$. Тогда в одном случае пересечение лучей даст нижнюю точку окружности, а перевернув диаметр, получим верхнюю точку.

Изображение

Пусть у нас $\angle BOY=\alpha$
Тогда нетрудно сосчитать, что у верхней точки окружности $y$ координата будет $\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$, а у нижней $\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$
Таким образом радиус будет: $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, а центр в точке $\frac{1}{\sin\alpha}$

То есть все уравнение окружности выглядит так:
$x^2+(y-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2=\frac{1}{\sin^2\alpha}$
Осталось всего-ничего - доказать, что наша кривая действительно окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
fred1996 в сообщении #1272394 писал(а):
Осталось всего-ничего - доказать, что наша кривая действительно окружность.


Эмм, так вроде уже доказано. Если вы про левую картинку, то рассуждение такое же, угол $P$ равен полуразности дуг $AY$ и $XB$, которая постоянна. Т. е. отрезок $AB$ виден из точки $P$ под постоянным углом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучи пересекаются - кривая получается
Сообщение05.12.2017, 23:28 
Аватара пользователя


09/10/15
2802
Columbia, Missouri, USA
А, теперь вижу. У нас же точки $A$ и $B$ тоже принадлежат этой кривой. Значит она окружность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group