Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г

[kotenok gav]

fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):

а второй над графиком

Почему?

[DeBill]

fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):

. Не строгое равенство?

Равенство будет, если $b=\sin a$.
А фокус встречается, например, при выводе неравенства Юнга....

[provincialka]

pcyanide в сообщении #1271784 писал(а):

Неужели в Поволжье все гении?

Максимальный балл был 68 из 77 возможных, но получил его представитель Ростова (олимпиада-то открытая). Но это исключение, лучшие работы в основном баллов на 30.

[fred1996]

DeBill в сообщении #1271867 писал(а):

fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):

. Не строгое равенство?

Равенство будет, если $b=\sin a$.
А фокус встречается, например, при выводе неравенства Юнга....

А, то что они могут быть не равны, не заметил.

-- 04.12.2017, 01:28 --

kotenok gav в сообщении #1271849 писал(а):

fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):

а второй над графиком

Почему?

Можно заметить, что вам предлагается сосчитать интеграл как от функции, так и от обратной функции. Интегрл от функции - это площадь под графиком. А интеграл от обратной функции можно получить с помощью перестановки осей $X$ и $Y$. Графически это площадь под грфиком перевернутого графика, или над графиком исходного.

[pcyanide]

fred1996 в сообщении #1271826 писал(а):

arqady
А разве в 1. Не строгое равенство?

arqady забыл упомянуть, что речь идет о прямоугольнике ограниченном координатными прямыми и x=a, y=b. Они могут не встречаться в точке графика, тогда строгое неравенство. Если b=sin(a), тогда все в порядке.

Красивое решение!

-- 04.12.2017, 20:37 --

4. К десятичной записи любого ли натурального числа можно приписать конечный набор цифр так, чтоб получившееся число представляло собой полный квадрат?

Для тех, кто еще не догадался. Выберем n так чтобы $10^n > \frac{1}{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})^2} $, тогда $10^\frac{n}{2}\sqrt{a+1}-10^\frac{n}{2}\sqrt{a}>1$, следовательно интервал $(10^\frac{n}{2}\sqrt{a},10^\frac{n}{2}\sqrt{a+1})$ содержит целое число X. В таком случае $a \cdot 10^n < X^2 < (a+1) \cdot10 ^n$.

Не знаю, какое решение предложили авторы из Поволжья, но встречал эту задачу не то в Kettering Math Olympiad, не то в Wisconsin University Talent Search. Там авторское решение такое неуклюжее, что стало стыдно за них.

-- 04.12.2017, 20:48 --

provincialka в сообщении #1271868 писал(а):

олимпиада-то открытая

Хорошая идея. Поднимает уровень образования в своем крае. Но, я надеюсь, была отдельная таблица результатов среди местных, иначе могут обидеться.

[zhekas]

6)

(Оффтоп)

Пусть
$a_n$ - количество последовательностей единиц и двоек с суммой кратной 3.
$b_n$ - количество последовательностей единиц и двоек с суммой дающей остаток 1.
$c_n$ - количество последовательностей единиц и двоек с суммой дающей остаток 2.

Получим рекуррентную систему
$\left\{ \begin{array}{rcl} a_n&=&b_{n-1}+c_{n-1} \\ b_n&=&a_{n-1}+c_{n-1} \\ c_n&=&a_{n-1}+b_{n-1} \\ \end{array} \right.$
С начальными условиями.
$\left\{ \begin{array}{rcl} a_1&=&0 \\ b_1&=&1 \\ c_1&=&1 \\ \end{array} \right.$

По индукции доказывается, что $a_{2n+1}=b_{2n+1}-1=c_{2n+1}-1$ и $a_{2n}=b_{2n}+1=c_{2n}+1$. А также $a_n+b_n+c_n = 2^n$.

Итого получаем:
1) $a_{2n+1} = \left[\frac{2^{2n+1}}3\right]$
2) $a_{2n}=\left[\frac{2^{2n}}3\right]+1$

[fred1996]

zhekas
У вас получилось число вариантов больше, чем число всех возможных наборов $2^n$
А ведь очевидно, что если число всех перестановок $2^n$, то число перестановок, делящихся с остатком один, то же, что с остатком два и то же, что и без остатка. С точностью до единицы. Поскольку $2^n$ не делится на 3, то ответ будет $\frac{2^n-2}{3}$ для нечетных $n$ и $\frac{2^n-1}{3}$ для четных. Или просто $[\frac{2^n}{3}]$

[zhekas]

fred1996 в сообщении #1272142 писал(а):

zhekas
У вас получилось число вариантов больше, чем число всех возможных наборов $2^n$
А ведь очевидно, что если число всех перестановок $2^n$, то число перестановок, делящихся с остатком один, то же, что с остатком два и то же, что и без остатка. С точностью до единицы. Поскольку $2^n$ не делится на 3, то ответ будет $\frac{2^n-2}{3}$ для нечетных $n$ и $\frac{2^n-1}{3}$ для четных. Или просто $[\frac{2^n}{3}]$

Ну давай потренируемся на кошках (на простых случаях).
1) $n=1$
$\left\{ \begin{array}{rcl} a_1&=&0 \\ b_1&=&1 \\ c_1&=&1 \\ \end{array} \right.$

$a_1 = \left[\frac{2^1}3\right]=0$. $a_1+b_1+c_1=2=2^1$

2) $n=2$
$\left\{ \begin{array}{rcl} a_2&=&2 \\ b_2&=&1 \\ c_2&=&1 \\ \end{array} \right.$

$a_2 = \left[\frac{2^2}3\right]+1=2$. $a_2+b_2+c_2=4=2^2$

3) $n=3$
$\left\{ \begin{array}{rcl} a_3&=&2 \\ b_3&=&3 \\ c_3&=&3 \\ \end{array} \right.$

$a_3 = \left[\frac{2^3}3\right]=2$. $a_3+b_3+c_3=8=2^3$

4) $n=4$
$\left\{ \begin{array}{rcl} a_4&=&6 \\ b_4&=&5 \\ c_4&=&5 \\ \end{array} \right.$

$a_4 = \left[\frac{2^4}3\right]+1=6$. $a_4+b_4+c_4=16=2^4$

Что не так?