Вероятность и игра в "Дурака"

[Samir]

Играли втроём в "Дурака", и при раздаче возникла такая ситуация, что ни у кого из игроков не оказалось козырной масти. Захотелось выяснить, насколько вообще вероятно такое.

Считаем, что колода из 36 карт идеально растасована. Раздаём по 6 карт каждому игроку, после чего масть следующей в колоде карты объявляется козырной.

Хотел бы тут описать своё решение и попросить у вас проверить его на правильность.

Пусть $A$ - искомое событие, то есть случай, когда ни у кого из игроков не окажется козырной масти.
Пусть $B_1$ - событие, которое состоит в том, что при раздаче карт игрокам ни у кого не оказалось одной и той же масти.
$B_2$ - ни у кого не оказалось по крайней мере каких-то двух одинаковых мастей.

Очевидно, что больше, чем двух мастей не может не оказаться у всех игроков.

Тогда

$$P(B_1) = \frac {4 \cdot C_{27}^{18}} {C_{36}^{18}}$$

$$P(B_2) = \frac {6 \cdot C_{18}^{18}} {C_{36}^{18}} = \frac {6} {C_{36}^{18}}$$

Пусть событие $P(K)$ - это вероятность того, что масть, которая ни у кого не выпала в первой ситуации, окажется козырной.
Тогда $P(KB_1)=\frac {P(B_1)} {2}$

Во втором случае ни одна карта из оставшихся в колоде не может совпасть по масти ни у одного из игроков.


Таким образом,

$$P(A)=P(KB_1) + P(B_2)=\frac {2(C_{27}^{18} + 3)} {C_{36}^{18}} \approx 0.001033$$

[grizzly]

Samir в сообщении #1272083 писал(а):

Хотел бы тут описать своё решение и попросить у вас проверить его на правильность.

А представьте себе колоду из одних тузов, 4 карты всего; раздача -- по одной карте (каждому!). Тогда очень легко посчитать вероятность, что ни у кого не будет козырей (подсказка: вероятность 1). А по Вашим формулам получается больше, если я правильно их понял.

Вообще, вы немного странно играете. Раздали себе 18 карт на всех и не имеет значения, кому что выпало из этих карт.

[atlakatl]

Есть 9 козырей и 27 бескозырных. Всего раздач ${C_{36}^{18}}$. Нам же нужны только раздачи из 27 карт.
Собственно, всё.

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1272100 писал(а):

Всего раздач ${C_{36}^{18}}$.

Да, похоже все теперь так играют.

[Someone]

Я бы рассуждал так.
0) Колода представляет собой набор $36$ попарно различимых карт, расположенных в некотором порядке. Первые $18$ карт раздаются игрокам.
1) Козырная масть может быть любая из $4$.
2) Одна из $9$ козырных карт должна располагаться на $19$ месте, а остальные $8$ можно произвольно разместить на $17$ местах второй половины колоды.
3) Остальные $27$ карт можно произвольным образом разместить на $27$ оставшихся местах.

В итоге у меня получилась вероятность, равная $\frac{13}{12586}\approx 0{,}00103289$.
Samir получил число, которое примерно на $6{,}61147\cdot 10^{-10}$ больше моего.
Но его решение я никак не воспринимаю.

[fred1996]

Someone
Да, у меня получилось $P=\frac{17!27!}{9!35!}=\frac{13}{12586}$
Выбираем первого козыря. Какого, роли не играет.
Все оставшиеся 8 козырей длжны посать в кучку из 17 карт. А всего их изначально 35.
То есть последовательно перемножаем вероятности попададания в кучку из 17.
Первый козврь: 17/35, второй 16/34, и тд до 10/28.
Перемножаем, получаем искомую вероятность.

[atlakatl]

У меня получается ${C_{27}^{18}}/{C_{36}^{18}}=0,000516446845701573$
На колоде из 4 карт всё получается.

[fred1996]

atlakatl
То есть вы хотите сказать, что назначили козырь, не вытаскивая его из колоды?

[Александрович]

Решал через формулу гипергеометрического распределения в Экселе. Получил $\approx 0,00103289413$.

[Yadryara]

atlakatl, да, у Вас ошибка. По условию одна козырная карта гарантированно не попадает к игрокам. А потому и искомая вероятность ровно в два раза выше, чем у Вас. Не надо умножать на $\frac{18}{36}$.

[atlakatl]

Спасибо. Давненько не брал я руки карт.
Надо ${C_{27}^{18}}/{C_{35}^{18}}=0,00103289369140315$

[Samir]

Цитата:

Samir получил число, которое примерно на $6{,}61147\cdot 10^{-10}$ больше моего.
Но его решение я никак не воспринимаю.

Ой, да. В самом деле, я ошибся. В общую вероятность в моем решении не надо было включать событие $B_2$, потому что оно уже включено в $B_1$.

Тогда получается проще:

$$P(A)=\frac {4C_{27}^{18}} {2C_{36}^{18}}=\frac {2C_{27}^{18}} {C_{36}^{18}}=\frac {13} {12586} \approx 0.00103289369$$

Всем спасибо! Можно было бы и проще решить, чем таким способом.

[grizzly]

Поскольку я не согласен ни с одним из участников обсуждения, простоприведу свой вариант решения / ответа:

$$ P(A)=\frac { C_4^3C_{27}^6C_{21}^6C_{15}^6\cdot 9\cdot 17! } { C_{36}^6C_{30}^6C_{24}^6\cdot 18! } \approx 0.00103 $$

На всякий случай скажу, какие две раздачи я называю равными: две раздачи называются равными, если при применении одного и того же строго детерминированного алгоритма после каждого такта хода мы получаем для каждой из этих раздач одно и то же расположение карт (при этом порядок размещения карт на руках любого игрока не играет роли). Игроки у меня различаются.

Upd. 13:05

[Yadryara]

grizzly в сообщении #1272172 писал(а):

Поскольку я не согласен ни с одним из участников обсуждения

Обалдеть! И это после того, как все, включая ТС, согласились, что

$$P(A)=\frac {C_{27}^{18}} {C_{35}^{18}}$$

grizzly в сообщении #1272090 писал(а):

Вообще, вы немного странно играете. Раздали себе 18 карт на всех и не имеет значения, кому что выпало из этих карт.

Всё правильно, не имеет значения трём игрокам раздали по $6$ или одному $18$.

grizzly в сообщении #1272172 писал(а):

Игроки у меня различаются.

И напрасно.

Чтобы убедиться в верности решения, удобен мысленный эксперимент. Представим, что достали козыря не 19-й картой, а первой. У нас осталось $35$ карт, среди которых $8$ козырей, а дальше всё просто.

[grizzly]

Yadryara
Я не понял Вашей логики. Может, из-за того, что зациклен на своей. Если разница в ответах только из-за учёта порядка игроков (я пока сомневаюсь в этом), тогда я сниму возражения. Голосованием я ничего решать не согласен.

Yadryara в сообщении #1272176 писал(а):

Обалдеть!

Да, я понимаю, что на кону часть репутации.

Yadryara в сообщении #1272176 писал(а):

Чтобы убедиться в верности решения, удобен мысленный эксперимент. Представим, что достали козыря не 19-й картой, а первой. У нас осталось $35$ карт, среди которых $8$ козырей, а дальше всё просто.

Не понял, простите. Я провожу такой мысленный эксперимент: раздали карты 2 раза всем одинаково, а на месте козыря в одном случае шестёрка, а в другом -- туз (одной масти; кроме этих двух, остальные карты оставшиеся в колоде -- на тех же местах). Вы считаете, что эти раздачи неразличимы?