2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 00:37 
Аватара пользователя


24/11/10
163
Браслав/Минск, Беларусь
Играли втроём в "Дурака", и при раздаче возникла такая ситуация, что ни у кого из игроков не оказалось козырной масти. Захотелось выяснить, насколько вообще вероятно такое.

Считаем, что колода из 36 карт идеально растасована. Раздаём по 6 карт каждому игроку, после чего масть следующей в колоде карты объявляется козырной.

Хотел бы тут описать своё решение и попросить у вас проверить его на правильность.

Пусть $A$ - искомое событие, то есть случай, когда ни у кого из игроков не окажется козырной масти.
Пусть $B_1$ - событие, которое состоит в том, что при раздаче карт игрокам ни у кого не оказалось одной и той же масти.
$B_2$ - ни у кого не оказалось по крайней мере каких-то двух одинаковых мастей.

Очевидно, что больше, чем двух мастей не может не оказаться у всех игроков.

Тогда $$P(B_1) = \frac {4 \cdot C_{27}^{18}} {C_{36}^{18}}$$
$$P(B_2) = \frac {6 \cdot C_{18}^{18}} {C_{36}^{18}} = \frac {6} {C_{36}^{18}}$$

Пусть событие $P(K)$ - это вероятность того, что масть, которая ни у кого не выпала в первой ситуации, окажется козырной.
Тогда $P(KB_1)=\frac {P(B_1)} {2}$

Во втором случае ни одна карта из оставшихся в колоде не может совпасть по масти ни у одного из игроков.


Таким образом,

$$P(A)=P(KB_1) + P(B_2)=\frac {2(C_{27}^{18} + 3)} {C_{36}^{18}} \approx 0.001033$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4919
Samir в сообщении #1272083 писал(а):
Хотел бы тут описать своё решение и попросить у вас проверить его на правильность.
А представьте себе колоду из одних тузов, 4 карты всего; раздача -- по одной карте (каждому!). Тогда очень легко посчитать вероятность, что ни у кого не будет козырей (подсказка: вероятность 1). А по Вашим формулам получается больше, если я правильно их понял.

Вообще, вы немного странно играете. Раздали себе 18 карт на всех и не имеет значения, кому что выпало из этих карт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 01:29 
Аватара пользователя


21/09/12
1690
Есть 9 козырей и 27 бескозырных. Всего раздач ${C_{36}^{18}}$. Нам же нужны только раздачи из 27 карт.
Собственно, всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4919
atlakatl в сообщении #1272100 писал(а):
Всего раздач ${C_{36}^{18}}$.
Да, похоже все теперь так играют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15168
Новомосковск
Я бы рассуждал так.
0) Колода представляет собой набор $36$ попарно различимых карт, расположенных в некотором порядке. Первые $18$ карт раздаются игрокам.
1) Козырная масть может быть любая из $4$.
2) Одна из $9$ козырных карт должна располагаться на $19$ месте, а остальные $8$ можно произвольно разместить на $17$ местах второй половины колоды.
3) Остальные $27$ карт можно произвольным образом разместить на $27$ оставшихся местах.

В итоге у меня получилась вероятность, равная $\frac{13}{12586}\approx 0{,}00103289$.
Samir получил число, которое примерно на $6{,}61147\cdot 10^{-10}$ больше моего.
Но его решение я никак не воспринимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 02:46 
Аватара пользователя


09/10/15
2431
San Jose, USA
Someone
Да, у меня получилось $P=\frac{17!27!}{9!35!}=\frac{13}{12586}$
Выбираем первого козыря. Какого, роли не играет.
Все оставшиеся 8 козырей длжны посать в кучку из 17 карт. А всего их изначально 35.
То есть последовательно перемножаем вероятности попададания в кучку из 17.
Первый козврь: 17/35, второй 16/34, и тд до 10/28.
Перемножаем, получаем искомую вероятность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 03:14 
Аватара пользователя


21/09/12
1690
У меня получается ${C_{27}^{18}}/{C_{36}^{18}}=0,000516446845701573$
На колоде из 4 карт всё получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 04:20 
Аватара пользователя


09/10/15
2431
San Jose, USA
atlakatl
То есть вы хотите сказать, что назначили козырь, не вытаскивая его из колоды?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 04:38 
Аватара пользователя


21/01/09
3025
Дивногорск
Решал через формулу гипергеометрического распределения в Экселе. Получил $\approx 0,00103289413$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 04:40 
Аватара пользователя


29/04/13
2993
atlakatl, да, у Вас ошибка. По условию одна козырная карта гарантированно не попадает к игрокам. А потому и искомая вероятность ровно в два раза выше, чем у Вас. Не надо умножать на $\frac{18}{36}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 05:16 
Аватара пользователя


21/09/12
1690
Спасибо. Давненько не брал я руки карт.
Надо ${C_{27}^{18}}/{C_{35}^{18}}=0,00103289369140315$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 09:55 
Аватара пользователя


24/11/10
163
Браслав/Минск, Беларусь
Цитата:
Samir получил число, которое примерно на $6{,}61147\cdot 10^{-10}$ больше моего.
Но его решение я никак не воспринимаю.


Ой, да. В самом деле, я ошибся. В общую вероятность в моем решении не надо было включать событие $B_2$, потому что оно уже включено в $B_1$.

Тогда получается проще:

$$P(A)=\frac {4C_{27}^{18}} {2C_{36}^{18}}=\frac {2C_{27}^{18}} {C_{36}^{18}}=\frac {13} {12586} \approx 0.00103289369$$


Всем спасибо! Можно было бы и проще решить, чем таким способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4919
Поскольку я не согласен ни с одним из участников обсуждения, простоприведу свой вариант решения / ответа:
$$
P(A)=\frac
{
C_4^3C_{27}^6C_{21}^6C_{15}^6\cdot 9\cdot 17!
}
{
C_{36}^6C_{30}^6C_{24}^6\cdot 18!
}
\approx 0.00103
$$На всякий случай скажу, какие две раздачи я называю равными: две раздачи называются равными, если при применении одного и того же строго детерминированного алгоритма после каждого такта хода мы получаем для каждой из этих раздач одно и то же расположение карт (при этом порядок размещения карт на руках любого игрока не играет роли). Игроки у меня различаются.

Upd. 13:05

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 11:29 
Аватара пользователя


29/04/13
2993
grizzly в сообщении #1272172 писал(а):
Поскольку я не согласен ни с одним из участников обсуждения

Обалдеть! И это после того, как все, включая ТС, согласились, что
$$P(A)=\frac {C_{27}^{18}} {C_{35}^{18}}$$

grizzly в сообщении #1272090 писал(а):
Вообще, вы немного странно играете. Раздали себе 18 карт на всех и не имеет значения, кому что выпало из этих карт.

Всё правильно, не имеет значения трём игрокам раздали по $6$ или одному $18$.

grizzly в сообщении #1272172 писал(а):
Игроки у меня различаются.

И напрасно.

Чтобы убедиться в верности решения, удобен мысленный эксперимент. Представим, что достали козыря не 19-й картой, а первой. У нас осталось $35$ карт, среди которых $8$ козырей, а дальше всё просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4919
Yadryara
Я не понял Вашей логики. Может, из-за того, что зациклен на своей. Если разница в ответах только из-за учёта порядка игроков (я пока сомневаюсь в этом), тогда я сниму возражения. Голосованием я ничего решать не согласен.
Yadryara в сообщении #1272176 писал(а):
Обалдеть!
Да, я понимаю, что на кону часть репутации.
Yadryara в сообщении #1272176 писал(а):
Чтобы убедиться в верности решения, удобен мысленный эксперимент. Представим, что достали козыря не 19-й картой, а первой. У нас осталось $35$ карт, среди которых $8$ козырей, а дальше всё просто.
Не понял, простите. Я провожу такой мысленный эксперимент: раздали карты 2 раза всем одинаково, а на месте козыря в одном случае шестёрка, а в другом -- туз (одной масти; кроме этих двух, остальные карты оставшиеся в колоде -- на тех же местах). Вы считаете, что эти раздачи неразличимы?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Sdy


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group