2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 00:37 
Аватара пользователя


24/11/10
163
Браслав/Минск, Беларусь
Играли втроём в "Дурака", и при раздаче возникла такая ситуация, что ни у кого из игроков не оказалось козырной масти. Захотелось выяснить, насколько вообще вероятно такое.

Считаем, что колода из 36 карт идеально растасована. Раздаём по 6 карт каждому игроку, после чего масть следующей в колоде карты объявляется козырной.

Хотел бы тут описать своё решение и попросить у вас проверить его на правильность.

Пусть $A$ - искомое событие, то есть случай, когда ни у кого из игроков не окажется козырной масти.
Пусть $B_1$ - событие, которое состоит в том, что при раздаче карт игрокам ни у кого не оказалось одной и той же масти.
$B_2$ - ни у кого не оказалось по крайней мере каких-то двух одинаковых мастей.

Очевидно, что больше, чем двух мастей не может не оказаться у всех игроков.

Тогда $$P(B_1) = \frac {4 \cdot C_{27}^{18}} {C_{36}^{18}}$$
$$P(B_2) = \frac {6 \cdot C_{18}^{18}} {C_{36}^{18}} = \frac {6} {C_{36}^{18}}$$

Пусть событие $P(K)$ - это вероятность того, что масть, которая ни у кого не выпала в первой ситуации, окажется козырной.
Тогда $P(KB_1)=\frac {P(B_1)} {2}$

Во втором случае ни одна карта из оставшихся в колоде не может совпасть по масти ни у одного из игроков.


Таким образом,

$$P(A)=P(KB_1) + P(B_2)=\frac {2(C_{27}^{18} + 3)} {C_{36}^{18}} \approx 0.001033$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5444
Samir в сообщении #1272083 писал(а):
Хотел бы тут описать своё решение и попросить у вас проверить его на правильность.
А представьте себе колоду из одних тузов, 4 карты всего; раздача -- по одной карте (каждому!). Тогда очень легко посчитать вероятность, что ни у кого не будет козырей (подсказка: вероятность 1). А по Вашим формулам получается больше, если я правильно их понял.

Вообще, вы немного странно играете. Раздали себе 18 карт на всех и не имеет значения, кому что выпало из этих карт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 01:29 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Есть 9 козырей и 27 бескозырных. Всего раздач ${C_{36}^{18}}$. Нам же нужны только раздачи из 27 карт.
Собственно, всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5444
atlakatl в сообщении #1272100 писал(а):
Всего раздач ${C_{36}^{18}}$.
Да, похоже все теперь так играют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15744
Новомосковск
Я бы рассуждал так.
0) Колода представляет собой набор $36$ попарно различимых карт, расположенных в некотором порядке. Первые $18$ карт раздаются игрокам.
1) Козырная масть может быть любая из $4$.
2) Одна из $9$ козырных карт должна располагаться на $19$ месте, а остальные $8$ можно произвольно разместить на $17$ местах второй половины колоды.
3) Остальные $27$ карт можно произвольным образом разместить на $27$ оставшихся местах.

В итоге у меня получилась вероятность, равная $\frac{13}{12586}\approx 0{,}00103289$.
Samir получил число, которое примерно на $6{,}61147\cdot 10^{-10}$ больше моего.
Но его решение я никак не воспринимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 02:46 
Аватара пользователя


09/10/15
2794
Columbia, Missouri, USA
Someone
Да, у меня получилось $P=\frac{17!27!}{9!35!}=\frac{13}{12586}$
Выбираем первого козыря. Какого, роли не играет.
Все оставшиеся 8 козырей длжны посать в кучку из 17 карт. А всего их изначально 35.
То есть последовательно перемножаем вероятности попададания в кучку из 17.
Первый козврь: 17/35, второй 16/34, и тд до 10/28.
Перемножаем, получаем искомую вероятность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 03:14 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
У меня получается ${C_{27}^{18}}/{C_{36}^{18}}=0,000516446845701573$
На колоде из 4 карт всё получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 04:20 
Аватара пользователя


09/10/15
2794
Columbia, Missouri, USA
atlakatl
То есть вы хотите сказать, что назначили козырь, не вытаскивая его из колоды?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 04:38 
Аватара пользователя


21/01/09
3123
Дивногорск
Решал через формулу гипергеометрического распределения в Экселе. Получил $\approx 0,00103289413$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 04:40 
Аватара пользователя


29/04/13
3124
atlakatl, да, у Вас ошибка. По условию одна козырная карта гарантированно не попадает к игрокам. А потому и искомая вероятность ровно в два раза выше, чем у Вас. Не надо умножать на $\frac{18}{36}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 05:16 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Спасибо. Давненько не брал я руки карт.
Надо ${C_{27}^{18}}/{C_{35}^{18}}=0,00103289369140315$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 09:55 
Аватара пользователя


24/11/10
163
Браслав/Минск, Беларусь
Цитата:
Samir получил число, которое примерно на $6{,}61147\cdot 10^{-10}$ больше моего.
Но его решение я никак не воспринимаю.


Ой, да. В самом деле, я ошибся. В общую вероятность в моем решении не надо было включать событие $B_2$, потому что оно уже включено в $B_1$.

Тогда получается проще:

$$P(A)=\frac {4C_{27}^{18}} {2C_{36}^{18}}=\frac {2C_{27}^{18}} {C_{36}^{18}}=\frac {13} {12586} \approx 0.00103289369$$


Всем спасибо! Можно было бы и проще решить, чем таким способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5444
Поскольку я не согласен ни с одним из участников обсуждения, простоприведу свой вариант решения / ответа:
$$
P(A)=\frac
{
C_4^3C_{27}^6C_{21}^6C_{15}^6\cdot 9\cdot 17!
}
{
C_{36}^6C_{30}^6C_{24}^6\cdot 18!
}
\approx 0.00103
$$На всякий случай скажу, какие две раздачи я называю равными: две раздачи называются равными, если при применении одного и того же строго детерминированного алгоритма после каждого такта хода мы получаем для каждой из этих раздач одно и то же расположение карт (при этом порядок размещения карт на руках любого игрока не играет роли). Игроки у меня различаются.

Upd. 13:05

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 11:29 
Аватара пользователя


29/04/13
3124
grizzly в сообщении #1272172 писал(а):
Поскольку я не согласен ни с одним из участников обсуждения

Обалдеть! И это после того, как все, включая ТС, согласились, что
$$P(A)=\frac {C_{27}^{18}} {C_{35}^{18}}$$

grizzly в сообщении #1272090 писал(а):
Вообще, вы немного странно играете. Раздали себе 18 карт на всех и не имеет значения, кому что выпало из этих карт.

Всё правильно, не имеет значения трём игрокам раздали по $6$ или одному $18$.

grizzly в сообщении #1272172 писал(а):
Игроки у меня различаются.

И напрасно.

Чтобы убедиться в верности решения, удобен мысленный эксперимент. Представим, что достали козыря не 19-й картой, а первой. У нас осталось $35$ карт, среди которых $8$ козырей, а дальше всё просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность и игра в "Дурака"
Сообщение05.12.2017, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5444
Yadryara
Я не понял Вашей логики. Может, из-за того, что зациклен на своей. Если разница в ответах только из-за учёта порядка игроков (я пока сомневаюсь в этом), тогда я сниму возражения. Голосованием я ничего решать не согласен.
Yadryara в сообщении #1272176 писал(а):
Обалдеть!
Да, я понимаю, что на кону часть репутации.
Yadryara в сообщении #1272176 писал(а):
Чтобы убедиться в верности решения, удобен мысленный эксперимент. Представим, что достали козыря не 19-й картой, а первой. У нас осталось $35$ карт, среди которых $8$ козырей, а дальше всё просто.
Не понял, простите. Я провожу такой мысленный эксперимент: раздали карты 2 раза всем одинаково, а на месте козыря в одном случае шестёрка, а в другом -- туз (одной масти; кроме этих двух, остальные карты оставшиеся в колоде -- на тех же местах). Вы считаете, что эти раздачи неразличимы?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group