Кострикин, задачник, (целочисленная) система уравнений

[ctdr]

Задача 8.25:
Пусть $A$ и $B$ - матрицы одинаковых размеров, причём однородные системы линейных уравнений с матрицами $A$ и $B$ эквивалентны. Доказать что от $A$ к $B$ можно перейти элементарными преобразованиями строк.

Не пойму условие.

Для вещественных матриц ясно (ступенч. вид - очевидно). Однако: (1) задача замыкает группу задач с целочисленными системами и решениями, и (2) находится в разделе помеченном "* * *", т.е. (типа) трудная.

Для целочисленных преобразований, кмк, утверждение неверно. Контр-пример:
$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$
Они эквивалентны, т.к. обе имеют лишь нулевое решение. Линейные комбинации нуля и простого числа (это числа в любом столбце) дадут, очевидно, кратные этому простому. Поэтому с матрицей $A$ будут получаться лишь числа вида $2k$, а с $B$ - $3k$. Т.е. не переведутся.

Что я не понимаю, или что имеется ввиду в задаче?

[iifat]

А что, поделить строку на 2 я не имею права? Если результат будет целым, естественно.

[ctdr]

iifat в сообщении #1271964 писал(а):

поделить строку на 2 я не имею права?

Я полагаю - нет. Предыдущие задачи - там всякие НОДы миноров. Т.е. элементарные преобразования в кольце $\mathbb Z$, а не в поле $\mathbb Q$. Вообще, конечно, для матриц над любым полем (а не только над $\mathbb R$) задача мне также видится очевидной.

[svv]

Давайте тогда не «делить», а сокращать на общий для всех элементов строки ненулевой целочисленный множитель. Эта операция законна?

ctdr в сообщении #1271960 писал(а):

задача замыкает группу задач с целочисленными системами и решениями

Взгляните на это иначе: вплоть до этой задачи целочисленность оговаривалась явно.

[ctdr]

svv в сообщении #1271982 писал(а):

Давайте тогда не «делить», а сокращать на общий для всех элементов строки ненулевой целочисленный множитель. Эта операция законна?

Конечно, нет. Сокращают элементы в уравнениях, а не в выражении. Есть аналог - э.п. типа (III) (редко применяемые, и поэтому, пожалуй, всегда явно оговариваемые) - умножение строки на число - стр. 91 учебника (гл. 2, пар. 3, пункт 6, абзац 3). Умножение.

svv в сообщении #1271982 писал(а):

Взгляните на это иначе: вплоть до этой задачи целочисленность оговаривалась явно.

Я повторюсь: если речь о поле, то возникает некоторый диссонанс в уровне трудности соседних задач.

Вообще, я не защищаю взгляд что здесь имеется ввиду именно кольцо. Я спрашиваю. Я не стесняюсь задавать такие дурацкие вопросы. Не стесняйтесь пожалуйста и вы (ко всем обращаюсь) сказать кратко, и прямо ("поле!"). (и соответственно взять при этом ответственность утверждать что ничего не-очевидного авторы задачника здесь ввиду не имели)

[Someone]

ctdr в сообщении #1271994 писал(а):

Конечно, нет. Сокращают элементы в уравнениях, а не в выражении.

А у нас речь и идёт об уравнениях. Линейных и однородных.

[ctdr]

Someone в сообщении #1272002 писал(а):

А у нас речь и идёт об уравнениях. Линейных и однородных.

А, понял что имели ввиду svv и iifat: перейти не от самой матрицы $A$, а от системы уравнений с этой матрицей. Я бы сказал это несколько вольная трактовка формулировки. (там есть задачи на перевод именно матриц, так что я до неё не догадался).

Заодно давайте зафиксируем другую непонятку: рассматривается кольцо $\mathbb Z$ (а не поле).

UPD: Тогда надо ещё подумать, но вроде ок.

[svv]

Я имел в виду такую вещь. Давайте запишем символически элементарное преобразование — умножение строки на ненулевую константу $k$:

$$\begin{bmatrix}\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{i,n-1} & a_{i,n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{i,n-1} & ka_{i,n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix}$$

(остальные строки не меняются). Я просто за то, чтобы иметь возможность выполнять это преобразование в обе стороны. Эквивалентность — отношение симметричное, поэтому, если от $A$ можно перейти к $B$ преобразованием, сохраняющим эквивалентность, то и от $B$ к $A$ разрешено переходить тоже.

[ctdr]

Someone
Да, получается, из одинаковости решений следует равенство ступенчатых матриц.

Вопрос всё-таки в том что это совсем не то же самое, что было в исходной формулировке. Сейчас мы решили задачу: Пусть... Доказать что элементарными преобразованиями строк однородных систем уравнений $Ax=0$ и $Bx=0$ эти системы можно привести к виду, в котором их матрицы совпадут.

svv
Я пока не прокомментирую, подожду может кто другой что прояснит.

[arseniiv]

Ну вот смотрите:

ctdr в сообщении #1271960 писал(а):

Пусть $A$ и $B$ - матрицы одинаковых размеров, причём однородные системы линейных уравнений с матрицами $A$ и $B$ эквивалентны. Доказать что от $A$ к $B$ можно перейти элементарными преобразованиями строк.

Отсюда видно, что «можно перейти элементарными преобразованиями строк» должно быть отношением эквивалентности. Попробуем формализовать это «можно перейти»: допустим, это должно значить, что существуют элементарные матрицы $P_1,\ldots,P_n,Q_1,\ldots,Q_m$ такие, что $P_1\cdots P_n AQ_1\cdots Q_m = B$. Мы рассматриваем, по-вашему, произвольное кольцо. Попробуйте теперь доказать, что получилось отношение эквивалентности: ан нет, у вас выйдет только рефлексивность, а для остального от элементарных матриц (типа III) потребуется обратимость, не всегда теперь имеющаяся (где мы и застаём стартовый пост). Это всего лишь значит, что мы неправильно формализовали штуку. Следующим шагом будет формализация, где требуется $P_1\cdots P_n AQ_1\cdots Q_m = R_1\cdots R_kBS_1\cdots S_\ell$. Проверьте, что и она не подходит (проблемы с обратимостью не решает). Подумайте, что всё-таки можно сделать, посмотрев на

svv в сообщении #1272080 писал(а):

Эквивалентность — отношение симметричное, поэтому, если от $A$ можно перейти к $B$ преобразованием, сохраняющим эквивалентность, то и от $B$ к $A$ разрешено переходить тоже.

В принципе, можно не формализовать. Хотя вы хотели от задачи, чтобы там было ***, а это как раз если и не оно и не то, тоже может быть интересным.

[Someone]

Вообще-то, неплохо бы иметь список того, что называют элементарными преобразованиями строк. Его надо найти в конспекте или в учебнике.

[arseniiv]

Тут ТС ссылается на том 1 Кострикина «Введение в алгебру» (ведёт куда надо):

ctdr в сообщении #1271994 писал(а):

гл. 2, пар. 3, пункт 6

хотя и написал об этом не очень прозрачно (пришлось наобум смотреть, раз упомянут задачник Кострикина, и повезло угадать).

[vpb]

У меня старое издание задачника, поэтому не нашел саму задачу. Но по моему и без того ясно в чем дело: целочисленность ни при чем, просто эта задача рядом с теми оказалась. Над полем решать надо. Не более того, зуб даю! А что при задаче звездочка --- оттого, что хотя утверждение и простое, но все-таки там есть подводные камни для понимания. Я во всяком случае на пару минут в ступор впал. Вы ее быстро решили --- ну и молодец. Короче, никакой проблемы нет.

[vpb]

Скачал таки последнее издание задачника (2009), нашел там задачу 8.25, убедился, что все так и есть, совпадение случайное. В старом издании в параграфе было 24 задачи, из них последние 13 про целочисленность; а потом еще две дописали, с целочисленностью не связанные. И, кстати, она в этом издании без звездочки. Правда, там и следующая задача 8.26, которая действительно трудная (по научному называется "сходимость метода простой итерации"), тоже почему-то без звездочки.

[ctdr]

Всем спасибо! Прочитайте-прокомментируйте ещё вот это пожалуйста.

1. Если в поле.

Тут я лоханулся немного: я думал что всегда можно обойтись э.п. типа 1 и 2 (и мой же пример матриц $A$ и $B$ с разными определителями почему-то меня не смутил). Когда число уравнений в ступ. виде равно числу главных неизвестных - нужны э.п. типа 3. Когда уравнений больше, можно обойтись без э.п. типа 3 - только 1 и 2 типа: можно использовать нижнюю нулевую строку для любых умножений любых других (ненулевых) строк.

(Случай поля - не столько очевидно, сколько (мне) неинтересно и прямолинейно)

Ну вот берём и шажками доказываем (от противного) что число уравнений одинаково, что главные и свободные неизвестные в тех же столбцах, что уравнения отличаются лишь множителем, и т.д. Времени эти слова писать-читать уйдёт больше, чем самому всё прокрутить в голове. Неинтересно, и именно в этом смысле - непонятно что эта задача там делает.

Подводных камней я и сейчас здесь не вижу. Но это не потому что я "молодец, быстро решил", а потому что я не продумываю всё тщательно :(

2. Если в кольце.

В целом - похоже. Но э.п. типа 3 мало, нужно ввести дополнительную эквивалентность матриц - по аналогии с сокращением элементов в однородном уравнении. (причём даже если внизу будет нулевая строка, она не помогает, как в случае поля). Такая эквивалентность ни в учебнике, ни в задачнике не определялась, но можно определить. Тогда утверждение будет верным.

arseniiv в сообщении #1272109 писал(а):

Подумайте, что всё-таки можно сделать, посмотрев на...

Мне приходит в голову 2 мысли: 1. просто определить эквивалентность как мы хотим (это ваша, всех писавших, мысль? дошла наконец-то?), и 2. если добавить э.п. по столбцам (у Вас там там матрицы справа $Q$), то получим всю эту кухню приведения к диагональной форме с НОД-ами миноров. 2-ая мысль мне понравилась конечно, там серия задач (и для жордановой формы матриц такое тоже применяется, емнип).

(кстати, она в этом издании без звездочки)

(Видимо в этом издании) у отдельных задач нет звёздочек. Звёздочки отделяют раздел внутри параграфа с (типа) трудными задачами. Для 8.26 есть указание, с ним мне показалось легко. Я почти всегда указания сразу читаю. Наверно поэтому недогадлив :(

Я давно решал эту задачу... И забыл совсем, извиняюсь. Там к ней указание есть. Использовать другую задачу, 8.19. И она целочисленная. В моей формулировке: целочисленная матрица с помощью целочисленных э.п. строк и столбцов однозначно приводится к виду: $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $A=\operatorname{diag} \{d_1,...,d_r\}$, $d_i \ne 0, d_i | d_{i+1}$. А $d_i$ - это НОД миноров $i$-го порядка. Т.е. здесь критично используется смешивание по столбцам, которого нет в исходной задаче.