2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение23.11.2017, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5623
Москва
Необходимость очевидна, условие конечности числа нулей производной исключает ситуацию, когда на некотором отрезке производная какого-то порядка (и более высоких) обращается в нуль (соответственно, в точке внутри этого отрезка функция точно не аналитична, разложение в ряд Тейлора точный ноль, а функция не равна тождественно нулю). Насчёт достаточности непонятно, даже пытаюсь контрпримеры нарисовать (не выходит, но...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение23.11.2017, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1574
Москва
Евгений Машеров в сообщении #1268294 писал(а):
Необходимость очевидна
Необходимость неверна: $\sin \frac{1}{x}$ на $(0; 1)$ аналитическая и имеет бесконечно много нулей.
Xaositect в сообщении #1268280 писал(а):
на каждом отрезке можно ограничить производные через разность значений функции на концах
Они же итак на любом внутреннем отрезке ограничены (т.к. непрерывны). Непонятно, что дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение23.11.2017, 13:02 


31/08/17
283
Xaositect в сообщении #1268280 писал(а):
pogulyat_vyshel
Тут вроде понятно - если $f^{(n)}(0) \geq c$, то $f(x) \geq cx^n/n!$ при $x > 0$, то есть на каждом отрезке можно ограничить производные через разность значений функции на концах.

не понял вашу мысль

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение23.11.2017, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5928
Возьмем отрезок $[a,b]$ внутри нашего интервала. Если $f^{(n)}(a) > c$, то $f(b) > f(a) + c(b - a)^n/n!$, то есть если $f(b) - f(a) \leq M$, то $f^{(n)}(a) \leq n! \frac{M}{(b - a)^n}$.
Теперь рассмотрим отрезки $[a,b]$ и $[b,c]$. На $[a,b]$ будет $f^{(n)}(x) \leq f^{(n)}(b) \leq n! \frac{f(c) - f(b)}{(c - b)^n}$, отсюда следует аналитичность на $[a, b]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение03.12.2017, 22:38 
Заслуженный участник


10/01/16
1435
Ни фига себе задачка из учебника....
0. Главная теорема в матане - это, наверное, теорема Лагранжа о конечном приращении....
Дробь $\frac{f(b)- f(a)}{b-a}$ дает оценку минимума производной - сверху. И оценку максимума - снизу.
1. Оценка производных сверху. Пусть на отрезке длины $d$ функция по модулю не превышает $M_0$.
1.1. Первая производная. Применяя 0), найдем на отрезке точку с производной, по модулю не большей $\frac{2M_0}{d}$.
1.2 Вторая. Поделим отрезок на 3 равные части. Применим к левой и правой третям п.1.1. По полученным точкам, найдем по 0) точку, в которой вторая производная не больше (по модулю) $\frac{2\frac{2M_0}{\frac{d}{3}}}{\frac{d}{3}}=\frac{c_2M_0}{d^2}$ для некой константы $c_2$
1.3. Третья. Поделим отрезок на 3 равные части. Применим к левой и правой третям п.1.2. По полученным точкам, найдем по 0) точку, в которой третья производная не больше (по модулю) $\frac{c_2M_0}{d^2}$.
.....
1.18. Восемнадцатая. Аналогично, найдем точку на отрезке, где восемнадцатая производная не более (по модулю) $\frac{c_{18}M_0}{d^{18}}$, где $c_{18}$ - здоровенная константа.
2. Равномерная оценка первой производной. Предположим, что:
отрезок $I$ содержится в интервале $(\alpha,\beta)$ вместе с прилегающими к нему слева-справа отрезочками ("ушами") длины $d$;
на интервале функция (а также и все ее производные) имеют не более 16 нулей;
на расширенном ушами отрезке модуль функции не превышает $M_0$.
Оценим максимум $M_1$ производной на отрезке $I$. Именно, покажем, что $M_1\leqslant  \frac{CM_0}{d^{18}}$.
Для этого выберем $C$ такой большой, что все здоровенные константы из 1) - фигня мелкая (нуль, практичски), по сравнению с ней (и даже умноженной на $18^{18}$...).
(Заготовка - штоб потом не отвлекаться: порежем каждое ухо на 18 равных частей. На левом ухе: на примыкающей к голове телу $I$ дольке выберем точку $x^1_l$ с малой (по 1.1) производной, на следующем - точку $x^2_l$ с малой (по 1.2) второй производной, и т.д., на последнем - точку $x^{18}_l$ с малой восемнадцатой производной. Аналогично выберем точки $x^i_r$ на правом ухе.)
Тогда: от противного: пусть есть точка $x^1_c$ (центральная, для первой производной) на $I$, где первая производная по модулю больше. Пусть, для определенности, она положительна. Но в точках $x^1_l, x^1_r$ производная мала. По 0), найдется точка $x^2_{cl}$, в которой вторая производная велика (и положительна), и точка $x^2_{cr}$, в которой вторая производная велика, и отрицательна.
В точках $x^2_l, x^2_r$ вторая производная мала, а в построенных двух точках - велика, и разных знаков. Поэтому найдутся три точки, в которых третья производная велика, и имеет знаки $+,-,+$.
Продолжая, найдем 18 точек, в которых восемнадцатая производная имеет чередующиеся знаки. Меж ними - 17 нулей --- противоречие.

-- 04.12.2017, 01:35 --

(Оффтоп)

Я был уверен, что вот стоит только такую оценку заиметь - и дело в шляпе. Ан нет: пришлось исчо напрягаться...

3. Оценка второй производной.
Поделим прилегающие уши пополам. По крайним половинкам ушей, оценим первую производную (на отрезке с прилегающими половинками ушей), а затем - аналогично - и вторую производную - на основном отрезке. Получим: ее максимум не превышает $\frac{C^2M_0}{(\frac{d}{2})^{18}}$
И т.д. В частности, для максимума $n$-й производной $M_n$ получим: $M_n\leqslant \frac{C^nM_0}{(\frac{d}{n})^{18}} $
По формуле Стирлинга, это дает $M_n \leqslant R^n\cdot n!$ для некоторого $R$.
А это и есть достаточное условие аналитичности. Уфф.

(Оффтоп)

МАТЬ!!!
Потерялась $n$ в показателе... И все пропало...
Значит, все еще хужее, чем ожидалось.
В принципе, я умею локализовать положение точек с большой второй производной - тех, что были описаны в п. 1.2:
по формуле Тейлора, для $x_0 = x^1_c$, $f(x)= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(\xi)(x-x_0)^2$, так что для большой производной $f'(x_0)$ и небольших $f(x),f(x_0)$
достаточно близко к $x_0$ есть точка с большой второй производной, и нужного знака.
В случае, когда $x_0$ где-то в середине отрезка $I$, не близка к ушам, в условии "малости" второй производной не появится $d$ в знаменателе, и тогда можно обойтись первой, а не 18-й, степенью. И тогда заработает предложенный п.3....
Однако, максимум производной может таки возникнуть у края отрезка....
Может, какой-то гибрид из предложенной Xaositect методы для монотонной функции и этой попытки можно сочинить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение04.12.2017, 14:40 


05/09/16
2432
pogulyat_vyshel в сообщении #1268267 писал(а):
Имеется гладкая функция на интервале, которая положительна вместе со всеми своими производными. И почему она должна быть аналитичной? Я не знаю :(

Об этом есть в
Бернштейн С.Н., Собрание сочинений, Том 1. Издательство академии наук СССР, 1952. стр. 231-232.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение10.12.2017, 13:33 
Заслуженный участник


10/01/16
1435
(Вторая попытка). На самом деле, в первой, идея решения была хороша, но реализовать ее следовало иначе: динамически (не хорошо сразу заготавливать точки с большими производными, их надо строить в зависимости от положения точки максимума первой производной). Итак, поехали (все - снова).
1. Лемма. Пусть на отрезке $\Delta$ максимум модуля $f$ не превышает $M_0=M_0(\Delta)$, длина отрезка равна $x$. Тогда на отрезке найдется точка, в которой производная порядка $k$ по модулю не превышает $c_k\frac{M_0}{x^k}$ для некоторых универсальных констант $c_k$ (можно взять $c_k = 6^{k^2}$, а можно - и поменьше).
База: $k=1$. Применяя теорему Лагранжа к отрезку, найдем точку, в которой производная по модулю не более $\frac{2M_0}{x}$.
Шаг. Поделим отрезок на три равные части. На левой и правой найдем точки, в которых производная порядка $k-1$ по модулю не более $c_{k-1}\frac{M_0}{(\frac{x}{3})^{k-1}}$ . Расстояние между ними - не менее $\frac{x}{3}$. Применяя теорему Лагранжа к отрезку с концами в этих точках, найдем точку с малой производной порядка $k$.
2. Пусть гладкая функция $f$ на интервале $(\alpha,\beta)$ (а также и все ее производные) имеет не более 16 нулей. Пусть отрезок $\Delta =[a,b]$ содержится в интервале $(\alpha,\beta)$, и $M_1 = M_1(\Delta)$ - максимум модуля $f'$ на $\Delta$ . Выберем $d>0$ так, что расширенный отрезок $\hat{\Delta} =[a-d,b+d]$ также содержится в интервале $(\alpha,\beta)$ . Пусть $\hat{M_0}$ - максимум модуля $f$ на расширенном отрезке $\hat{\Delta}$.
Покажем, что $M_1\leqslant C\frac{\hat{M_0}}{d} $ для некоторой универсальной константы $C$ (в качестве $C$ можно, вроде, взять сумму чисел $c_k 2^{k^2}$ с номерами, меньшими 17 - лень считать аккуратно).

От противного: пусть - не так, так что есть точка $x_0$ из $\Delta$, производная в которой по модулю - больше. Пусть, для определенности, производная положительна. Пусть точка $x_0$ делит расширенный отрезок на части $\Delta_1, \Delta_2$ длины $x$ и $y$. Тогда $x>d, y>d$.
На отрезке $\Delta_1$:
имеем $f'(x_0)>C\frac{\hat{M_0}}{x} $ (важно: в отличии от первой попытки, в знаменателе не $d$, а длина текущего отрезочка). На правой половине $\Delta_{12}$ отрезка $\Delta_1$ найдем - по лемме - точку, в которой производная не больше $c_1\frac{\hat{M_0}}{\frac{x}{2}}$. Расстояние от нее до $x_0$ - не более $ \frac{x}{2}<x$, так что, по Лагранжу, на $\Delta_{12}$ есть точка, в которой вторая производная не менее $(C-2c_1)\frac{\hat{M_0}}{x^2}$. Пусть $C_1=C-2c_1$

-- 10.12.2017, 15:43 --

Левую половину $\Delta_{11}$ отрезка $\Delta_1$ поделим пополам, и на ее правой половине $\Delta_{112}$ найдем - по лемме - точку, в которой вторая производная не более $c_2\frac{\hat{M_0}}{(\frac{x}{4})^2}$. Расстояние от нее до построенной выше точки с большой второй производной - не более $x$, так что, по Лагранжу, на отрезке с концами в этих двух точках есть точка с третьей производной, большей $(C_1 - 4^2c_2)\frac{\hat{M_0}}{x^3}$. Пусть $C_2 = C_1 -4^2c_2$

-- 10.12.2017, 16:12 --

Повторяя те же рассуждения, и предполагая константу $C$ достаточно большой, построим 18 точек $x_k^l$, таких, что производная порядка $k+1$ в точке $x_k^l$ - большая, и положительная.
Аналогично, на правом отрезке $\Delta_2$ построим точки $x_k^r$, в которых производная порядка $k+1$ - большая (по модулю), однако тут будет знакочередование: знак производной будет равен "четности " $k$.
И стало хорошо...
Имеем:
Первая производная в точке $x_0$ положительна.
Вторая: в точке $x_1^l$ положительна, в точке $x_1^r$ - отрицательна. Поэтому меж ними есть точка $x_2^m$, в которой третья производная отрицательна.
Третья: в точке $x_2^l$ - знак "+", в точке $x_2^m$ - "-", в точке $x_2^r$ - "+".
Поэтому промеж них найдутся точки, в которых четвертая производная имеет знаки (слева направо) -,+.
Четвертая: в точке $x_3^l$ знак "+", а в $x_3^r$ - "-". С учетом предыдущего, получили четыре точки с чередующимися знаками. Меж ними найдутся три точки, в которых пятая также имеет чередующиеся знаки. Добавим две новые крайние , и т.д., и т.д.
На 18-м шаге, получим 18 точек, в которых 18-я производная имеет чередующиеся знаки. Меж ними - ее 17 нулей - противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение10.12.2017, 14:36 
Заслуженный участник


10/01/16
1435
3. Наконец, оценим максимум модуля $M_n$ (по отрезку $\Delta$, для $n$-й производной) через $\hat{M_0}$. Для этого, положим $\delta =\frac{d}{n}$, $\Delta_k =[a-k\delta,b+k\delta]$, так что $\Delta_n = \hat{\Delta}, \Delta_0 =\Delta$ .
Последовательно применяя оценки из п.2, (первую производную - на $\Delta_{n-1}$, вторую - на $\Delta_{n-2}$, и т.д.) получим
$M_n\leqslant C \frac{M_0}{(\frac{d}{n})^n}$
Ну вот и все: по формуле Стирлинга, для любого $R >eC$, найдется константа $K$, что при всех $n$ будет $M_n \leqslant KR^n n!$. А это и есть достаточное условие аналитичности $f$ на $\Delta$....
Rem. Для оценки каждой производной, тем самым, использовалась своя - индивидуйная- последовательность "расширений". И это - еще один нюанс: единая система расширений к цели не приводит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение27.12.2017, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4772
Если кому ещё интересно, откопал немного на эту тему, смотреть начиная с пункта 9

https://pdfs.semanticscholar.org/ebc4/9 ... 25f0f4.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group