Доброго времени суток!
В книге Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков "Лекции по математическому анализу" есть такая задача.
ЗАДАЧА. Пусть
-- бесконечно дифференцируемая на интервале
функция. Обозначим через
число решений уравнения
. Пусть
при некотором
и всех
. Доказать, что функция
является аналитической на интервале
.
Опр. Функция
называется аналитической в точке
, если в некоторой окрестности этой точки она может быть представлена её рядом Тейлора.
Я не знаю, какие следствия можно получить из условия, что количество нулей и самой функции, и любой её производной ограничено одним и тем же числом. Моя основная идея это взять некоторую точку
и как-нибудь показать, что из того условия следует
для всех
из некоторой окрестности
.
Подскажите, пожалуйста, какая информация в этом заключена:
Пусть при некотором и всех