Доброго времени суток!
В книге Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков "Лекции по математическому анализу" есть такая задача.
ЗАДАЧА. Пусть

-- бесконечно дифференцируемая на интервале

функция. Обозначим через

число решений уравнения

. Пусть

при некотором

и всех

. Доказать, что функция

является аналитической на интервале

.
Опр. Функция

называется аналитической в точке

, если в некоторой окрестности этой точки она может быть представлена её рядом Тейлора.
Я не знаю, какие следствия можно получить из условия, что количество нулей и самой функции, и любой её производной ограничено одним и тем же числом. Моя основная идея это взять некоторую точку

и как-нибудь показать, что из того условия следует

для всех

из некоторой окрестности

.
Подскажите, пожалуйста, какая информация в этом заключена:
Пусть
при некотором
и всех 