2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение21.11.2017, 20:41 
Аватара пользователя


21/09/13
120
Уфа
Доброго времени суток!
В книге Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков "Лекции по математическому анализу" есть такая задача.
ЗАДАЧА. Пусть $f(x) $ -- бесконечно дифференцируемая на интервале $(a,b)$ функция. Обозначим через $k_n$ число решений уравнения $f^{(n)}(x)=0$. Пусть $k_n<C$ при некотором $C$ и всех $n\in \mathbb{N}$. Доказать, что функция $f(x)$ является аналитической на интервале $(a,b)$.
Опр. Функция $f(x)$ называется аналитической в точке $x_0$, если в некоторой окрестности этой точки она может быть представлена её рядом Тейлора.
Я не знаю, какие следствия можно получить из условия, что количество нулей и самой функции, и любой её производной ограничено одним и тем же числом. Моя основная идея это взять некоторую точку $x_0 \in(a,b)$ и как-нибудь показать, что из того условия следует $f^{(n)}(x_0)\leqslant c^nn!$ для всех $x$ из некоторой окрестности $x_0$.
Подскажите, пожалуйста, какая информация в этом заключена: Пусть $k_n<C$ при некотором $C$ и всех $n\in \mathbb{N}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 11:26 


11/07/16
410
Задача сформулирована нечетко. Как понимать
Цитата:
Обозначим через $k_n$ число решений уравнения $f^{(n)}(x)=0$

для функции $f(x):=\left \{  \begin{array}{l}  e^{\frac {-1}{x^2}},\, x\neq 0;\\0,\,x =0.\\ \end{array}  \right .  $ при $n=0$ на интервале $(-1,1)?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 11:56 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14549
Кронштадт
RikkiTan1 в сообщении #1267683 писал(а):
Я не знаю, какие следствия можно получить из условия, что количество нулей и самой функции, и любой её производной ограничено одним и тем же числом.
Это значит, что оно просто ограничено сверху. На "одном числе" зацикливаться не стоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 17:17 
Аватара пользователя


21/09/13
120
Уфа
Markiyan Hirnyk
Наверное, предполагается что $k_n$ - число решений $f^{(n)}(x)=0$ на интервале $(a,b)$. Из этой задачи получается, что для $f(x):=\left \{  \begin{array}{l}  e^{\frac {-1}{x^2}},\, x\neq 0;\\0,\,x =0.\\ \end{array}  \right .  $ в любой окрестности $(-\delta,\delta)$ существует такое $N$, что у $f^{(N)}(x)$ на $(-\delta,\delta)$ нулей больше любого наперед заданного числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 17:37 


11/07/16
410
Не понял. У приведенной мною функции (она не аналитическая в точке $x=0$ ни как комлекснозначная функция, ни как действительнозначная функция) единственный нуль на интервале $(-1,1)$ в точке $x=0$. Учтывается ли его кратность? Есла да, то как эту кратность определить? Как отмечено мною, формулировка задачи неаккуратная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 17:41 
Аватара пользователя


21/09/13
120
Уфа
$f^{(n)}(x)$ - это $n$-ая производная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 17:49 


11/07/16
410
Не понял вас. Во-первых, согласно общепринятому соглашению, функция является производной нулевого порядка от самой себя. Во-вторых, точка $x=0$ является нулем каждой производной рассматриваемой функции. Учитывается ли его кратность? Если да, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2029
Москва
Вполне понятная формулировка. Существует константа $C$ такая что для любого $n$ мощность множества $\{x | f^{(n)}(x)\}$ не превосходит $C$.
Ваша функция не подходит, потому что число нулей $n$-й производной вашей функции в любой окрестности нуля неограниченно возрастает с ростом $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 18:22 


11/07/16
410
1. Вы также не отвечаете на вопрос о кратности нулей.
2. Пожалуйста, докажите высказанное вами утверждение
Цитата:
Ваша функция не подходит, потому что число нулей $n$-й производной вашей функции в любой окрестности нуля неограниченно возрастает с ростом $n$.
.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5040
Markiyan Hirnyk в сообщении #1268040 писал(а):
1. Вы также не отвечаете на вопрос о кратности нулей.


Нули считаются без учёта кратности. У вашей функции один нуль на интервале $(-1,1)$ при $n=0$. Но из этого, вообще говоря, не следует, что она является контрпримером, потому что в условии задачи число нулей $f^{(n)}$ на отрезке $(a,b)$ должно быть ограничено одной и той же константой при всех $n$, чего вы доказать даже и не пытались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 18:46 


11/07/16
410
g______d Спасибо за высказанное вами (без аргументации) личное мнение
Цитата:
Нули считаются без учёта кратности.

Если ваше замечание
Цитата:
чего вы доказать даже и не пытались
относится ко мне, то оно верно: я пытаюсь понять и уточнить формулировку задачи, и не более того.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2029
Москва
Markiyan Hirnyk в сообщении #1268056 писал(а):
без аргументации
Приведите определение "решения уравнения", приведите определение "$k_n$ - число решений уравнения $f(x) = 0$" и увидете, что кратность тут вообще не при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение22.11.2017, 19:30 


11/07/16
410
mihaildДа, действительно, Вики подтверждает эту точку зрения. Однако в комлексном анализе и полиномиальной алгебре кратность нулей существенна и учитывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение23.11.2017, 09:02 
Аватара пользователя


31/08/17
736
Хрен с ними с нулями. Имеется гладкая функция на интервале, которая положительна вместе со всеми своими производными. И почему она должна быть аналитичной? Я не знаю :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая функция вещественного переменного
Сообщение23.11.2017, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6019
pogulyat_vyshel
Тут вроде понятно - если $f^{(n)}(0) \geq c$, то $f(x) \geq cx^n/n!$ при $x > 0$, то есть на каждом отрезке можно ограничить производные через разность значений функции на концах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group