2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Четность целой части от 100-й степени (школьная задача).
Сообщение03.12.2017, 06:41 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Ну могу отыскать ключик к следующей задаче:

------
Пусть $n<(44+\sqrt{1975})^{100}<n+1$, где $n$ – целое. Докажите, что n — нечетно.
------

Если, $S = (44+\sqrt{1975})^{100}$, то $\lg{(S)}=100\;\lg{(44+\sqrt{1975})}$.

С помощью калькулятора находим, что $\lg{(S)}=194.66535074199802$, остюда $S=10^{0.66535074199802}\cdot10^{194}$. Осталaсь самая малость: вычислить $10^{0.66535074199802}$ и передвинуть запятую на 194 разряда вправо... Увы, калькулятор способен дать лишь не более 20 значащих цифр, что явно недостаточно для определения четности целой части результата. Я уже не говорю о том, что самым точным вычислительным инструментом, доступным рядовому советскому школьнику в 1975 году были ... математические таблицы Брадиса, дававшие лишь 4 значащие цифры.

Может быть имеет значение тот факт, что $\sqrt{1975}\approx 44.44$ ? (Пытался умножить на сопряженное, но помогло.)

-- 03.12.2017, 14:18 --

Вот возможный подход: $(44+\sqrt{1975})^{100}-(\sqrt{1975})^{100}$ делится на $(44+\sqrt{1975})-\sqrt{1975}=44$, a $(\sqrt{1975})^{100}=1975^{50}$ нечетно! Однако это неверно, т.к частное от деления содержит $\sqrt{1975}$ в нечетных степенях, потому не целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четность целой части от 100-й степени (школьная задача).
Сообщение03.12.2017, 07:56 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
pcyanide
Рассчитайте крайние штук 6 правых коэффициентов в треугольнике Паскаля. Оцените их чётность для произведений с $\sqrt{1975}=5\sqrt{79}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Четность целой части от 100-й степени (школьная задача).
Сообщение03.12.2017, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6739
pcyanide
Вот отсюда можно некоторые соображения извлечь. «Первые 10 цифр после запятой»

 Профиль  
                  
 
 Re: Четность целой части от 100-й степени (школьная задача).
Сообщение04.12.2017, 01:42 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
Вот, кажется, решение (если я ничего не напутал):
$$
(\sqrt{1975}+44)^m=A+B\sqrt{1975}
$$

$A$ и $B\sqrt{1975}$ — суммы членов разложения бинома Ньютона с соответственно четными и с нечетными степенями $\sqrt{1975}$.

С другой стороны
$$
(\sqrt{1975}-44)^m=A-B\sqrt{1975}
$$
Складывая получаем
$$
(\sqrt{1975}+44)^m + (\sqrt{1975}-44)^m = 2A
$$
или
$$
(\sqrt{1975}+44)^m = 2A - (\sqrt{1975}-44)^m
$$

Так как $(\sqrt{1975}-44), а следовательно $(\sqrt{1975}-44)^m$ лежит в интервале (0,1), получаем
$$
2A-1 < (\sqrt{1975}+44)^m = 2A
$$

Осталось положить n=2A-1$.

Подсказка Otta действительно помогла бы ... если бы (вы конечно не поверите!) я не додумался до всего сам. Так часто бывает: думаешь, думаешь — ничего не выходит, а посылаешь на форум, так сразу приходит озарение. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Четность целой части от 100-й степени (школьная задача).
Сообщение04.12.2017, 02:58 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
pcyanide
Зря Вы обозначили той же буквой $n$ произвольную степень.
При нечётных степенях $n$ чётно, а Вы доказали его постоянную нечётность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четность целой части от 100-й степени (школьная задача).
Сообщение04.12.2017, 12:50 
Аватара пользователя


01/12/17
89
Мельбурн
atlakatl в сообщении #1271769 писал(а):
pcyanide
Зря Вы обозначили той же буквой $n$ произвольную степень.
При нечётных степенях $n$ чётно, а Вы доказали его постоянную нечётность.


Pardon, действительно, если m - нечетно, то
$$
(\sqrt{1975}-44)^m=B\sqrt{1975}-A
$$

так что в этом случае приходится вычитать. Получаем
$$
(\sqrt{1975}+44)^m-(\sqrt{1975}-44)^m=2A
$$
и
$$
(\sqrt{1975}-44)^m=2A+(\sqrt{1975}-44)^m
$$

Так что в случае нечетного m
$$
2A < (\sqrt{1975}+44)^m < 2A+1
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group