Четность целой части от 100-й степени (школьная задача).

[pcyanide]

Ну могу отыскать ключик к следующей задаче:

------
Пусть $n<(44+\sqrt{1975})^{100}<n+1$, где $n$ – целое. Докажите, что n — нечетно.
------

Если, $S = (44+\sqrt{1975})^{100}$, то $\lg{(S)}=100\;\lg{(44+\sqrt{1975})}$.

С помощью калькулятора находим, что $\lg{(S)}=194.66535074199802$, остюда $S=10^{0.66535074199802}\cdot10^{194}$. Осталaсь самая малость: вычислить $10^{0.66535074199802}$ и передвинуть запятую на 194 разряда вправо... Увы, калькулятор способен дать лишь не более 20 значащих цифр, что явно недостаточно для определения четности целой части результата. Я уже не говорю о том, что самым точным вычислительным инструментом, доступным рядовому советскому школьнику в 1975 году были ... математические таблицы Брадиса, дававшие лишь 4 значащие цифры.

Может быть имеет значение тот факт, что $\sqrt{1975}\approx 44.44$ ? (Пытался умножить на сопряженное, но помогло.)

-- 03.12.2017, 14:18 --

Вот возможный подход: $(44+\sqrt{1975})^{100}-(\sqrt{1975})^{100}$ делится на $(44+\sqrt{1975})-\sqrt{1975}=44$, a $(\sqrt{1975})^{100}=1975^{50}$ нечетно! Однако это неверно, т.к частное от деления содержит $\sqrt{1975}$ в нечетных степенях, потому не целое.

[atlakatl]

pcyanide
Рассчитайте крайние штук 6 правых коэффициентов в треугольнике Паскаля. Оцените их чётность для произведений с $\sqrt{1975}=5\sqrt{79}$

[Otta]

pcyanide
Вот отсюда можно некоторые соображения извлечь. «Первые 10 цифр после запятой»

[pcyanide]

Вот, кажется, решение (если я ничего не напутал):

$$ (\sqrt{1975}+44)^m=A+B\sqrt{1975} $$

$A$ и $B\sqrt{1975}$ — суммы членов разложения бинома Ньютона с соответственно четными и с нечетными степенями $\sqrt{1975}$.

С другой стороны

$$ (\sqrt{1975}-44)^m=A-B\sqrt{1975} $$

Складывая получаем

$$ (\sqrt{1975}+44)^m + (\sqrt{1975}-44)^m = 2A $$

или

$$ (\sqrt{1975}+44)^m = 2A - (\sqrt{1975}-44)^m $$

Так как $(\sqrt{1975}-44), а следовательно $(\sqrt{1975}-44)^m$ лежит в интервале (0,1), получаем

$$ 2A-1 < (\sqrt{1975}+44)^m = 2A $$

Осталось положить n=2A-1$.

Подсказка Otta действительно помогла бы ... если бы (вы конечно не поверите!) я не додумался до всего сам. Так часто бывает: думаешь, думаешь — ничего не выходит, а посылаешь на форум, так сразу приходит озарение. :)

[atlakatl]

pcyanide
Зря Вы обозначили той же буквой $n$ произвольную степень.
При нечётных степенях $n$ чётно, а Вы доказали его постоянную нечётность.

[pcyanide]

atlakatl в сообщении #1271769 писал(а):

pcyanide
Зря Вы обозначили той же буквой $n$ произвольную степень.
При нечётных степенях $n$ чётно, а Вы доказали его постоянную нечётность.

Pardon, действительно, если m - нечетно, то

$$ (\sqrt{1975}-44)^m=B\sqrt{1975}-A $$

так что в этом случае приходится вычитать. Получаем

$$ (\sqrt{1975}+44)^m-(\sqrt{1975}-44)^m=2A $$

и

$$ (\sqrt{1975}-44)^m=2A+(\sqrt{1975}-44)^m $$

Так что в случае нечетного m

$$ 2A < (\sqrt{1975}+44)^m < 2A+1 $$