2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение04.12.2017, 00:06 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Ну, это же идёт ещё от уравнений $X_1 = x \partial_x +  \partial_y, X_2 = - \partial_x + x \partial_y$, где в обоих уравнениях стоит коэффициент $x$ — это наш $x^1$. Был бы $y$, мы бы его обозначили $x^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение04.12.2017, 00:17 


18/10/16
32
svv
$\left\{\begin{matrix}
\dot x^1 = \eta^1 x^1 - \eta^2 \\
\dot x^2 = \eta^1 + x^1 \eta^2 \\
\end{matrix}\right.$, откуда имеем: $\left\{\begin{matrix}
x^1 = \frac{\eta^2}{\eta^1} + (x^1(0) - \frac{\eta^2}{\eta^1}) e^{\eta_1 t} \\
x^2 = (\eta^1 + \frac{\eta^2}{\eta^1})t + \frac{(x^1(0)-\frac{\eta^2}{\eta^1})e^{\eta_1t}}{\eta^1} + \frac{x^2(0)(\eta^1)^2-x^1(0)\eta^1+\eta^2}{(\eta^1)^2} \\
\end{matrix}\right.$, как-то так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение04.12.2017, 00:51 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
PalmDesert
Признаю, что в таких вычислениях мои обозначения, наоборот, страшно неудобны. :oops:
Насколько было бы приятней решать систему
$\begin{cases}\dot x=ax-b\\\dot y=a+bx\end{cases}$
Простите!

-- Пн дек 04, 2017 00:04:23 --

Кроме того, никто не заставляет нас получать именно параметрический вид. Можно исключить $t$ и решать уравнение
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{a+bx}{ax-b}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение04.12.2017, 01:07 


18/10/16
32
Да ничего страшного :), перепишу в следующем виде:
$\left\{\begin{matrix}
\dot x = a x - b \\
\dot y = a + x b \\
\end{matrix}\right.$, откуда имеем: $\left\{\begin{matrix}
x = \frac{b}{a} + (x(0) - \frac{b}{a}) e^{a t} \\
y = (a + \frac{b}{a})t + \frac{(x(0)-\frac{b}{a})e^{a t}}{a} + \frac{y(0)a^2-x(0)a+b}{a^2} \\
\end{matrix}\right.$

-- 04.12.2017, 01:08 --

svv в сообщении #1271738 писал(а):
PalmDesert
Кроме того, никто не заставляет нас получать именно параметрический вид. Можно исключить $t$ и решать уравнение
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{a+bx}{ax-b}$
,
даже не подумал об этом, спасибо! :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение04.12.2017, 09:48 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
PalmDesert в сообщении #1271488 писал(а):
символы Кристоффеля: $\Gamma^{1}_{11} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}, \Gamma^{2}_{11} = \frac{2x}{(1+x^2)^2}, \Gamma^{1}_{12} = \frac{-2x}{(1+x^2)^2},\Gamma^{2}_{12} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$, а все остальные нули.
Проверьте, пожалуйста. У меня получились другие выражения.

Я считал так. Обозначим $\mathbf e_k=\partial_k\,,\; \tilde{\mathbf e}_\ell=X_\ell$, формулы перехода $\tilde{\mathbf e}_\ell=\mathbf e_i P^i{}_{\tilde \ell}\,, \;\mathbf e_k=\tilde{\mathbf e}_\ell P^{\tilde \ell}{}_k$.
$\Gamma^i_{jk}\mathbf e_i=\nabla_j\mathbf e_k=\nabla_j(\tilde{\mathbf e}_\ell P^{\tilde \ell}{}_k)=\tilde{\mathbf e}_\ell\partial_j P^{\tilde \ell}{}_k+P^{\tilde \ell}{}_k{\color{blue}\nabla_j\tilde{\mathbf e}_\ell}=\mathbf e_i P^i{}_{\tilde \ell}\partial_j P^{\tilde \ell}{}_k$, (синяя производная равна нулю по условию)
откуда $\Gamma^i_{jk}=P^i{}_{\tilde \ell}\;\partial_j P^{\tilde \ell}{}_k$. Матрицы перехода:
$P^i{}_{\tilde \ell}=\begin{bmatrix}x&-1\\1&x\end{bmatrix}\,,\quad P^{\tilde \ell}{}_k=\frac 1{1+x^2}\begin{bmatrix}x&1\\-1&x\end{bmatrix}$
Так как в матрицы входит только $x^1=x$, все $\Gamma^i_{2k}=0$. Для $j=1$ имеем
$\partial_1 P^{\tilde \ell}{}_k=\frac 1{(1+x^2)^2}\begin{bmatrix}1-x^2&-2x\\2x&1-x^2\end{bmatrix}$
Это совпадает с тем, что получилось у Вас. Но в моей формуле для $\Gamma$ есть ещё один матричный множитель $P^i{}_{\tilde \ell}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group