Геодезические связности

[svv]

Ну, это же идёт ещё от уравнений $X_1 = x \partial_x + \partial_y, X_2 = - \partial_x + x \partial_y$, где в обоих уравнениях стоит коэффициент $x$ — это наш $x^1$. Был бы $y$, мы бы его обозначили $x^2$.

[PalmDesert]

svv
$\left\{\begin{matrix} \dot x^1 = \eta^1 x^1 - \eta^2 \\ \dot x^2 = \eta^1 + x^1 \eta^2 \\ \end{matrix}\right.$, откуда имеем: $\left\{\begin{matrix} x^1 = \frac{\eta^2}{\eta^1} + (x^1(0) - \frac{\eta^2}{\eta^1}) e^{\eta_1 t} \\ x^2 = (\eta^1 + \frac{\eta^2}{\eta^1})t + \frac{(x^1(0)-\frac{\eta^2}{\eta^1})e^{\eta_1t}}{\eta^1} + \frac{x^2(0)(\eta^1)^2-x^1(0)\eta^1+\eta^2}{(\eta^1)^2} \\ \end{matrix}\right.$, как-то так?

[svv]

PalmDesert
Признаю, что в таких вычислениях мои обозначения, наоборот, страшно неудобны.
Насколько было бы приятней решать систему
$\begin{cases}\dot x=ax-b\\\dot y=a+bx\end{cases}$
Простите!

-- Пн дек 04, 2017 00:04:23 --

Кроме того, никто не заставляет нас получать именно параметрический вид. Можно исключить $t$ и решать уравнение
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{a+bx}{ax-b}$

[PalmDesert]

Да ничего страшного :), перепишу в следующем виде:
$\left\{\begin{matrix} \dot x = a x - b \\ \dot y = a + x b \\ \end{matrix}\right.$, откуда имеем: $\left\{\begin{matrix} x = \frac{b}{a} + (x(0) - \frac{b}{a}) e^{a t} \\ y = (a + \frac{b}{a})t + \frac{(x(0)-\frac{b}{a})e^{a t}}{a} + \frac{y(0)a^2-x(0)a+b}{a^2} \\ \end{matrix}\right.$

-- 04.12.2017, 01:08 --

svv в сообщении #1271738 писал(а):

PalmDesert
Кроме того, никто не заставляет нас получать именно параметрический вид. Можно исключить $t$ и решать уравнение
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{a+bx}{ax-b}$

,
даже не подумал об этом, спасибо! :)

[svv]

PalmDesert в сообщении #1271488 писал(а):

символы Кристоффеля: $\Gamma^{1}_{11} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}, \Gamma^{2}_{11} = \frac{2x}{(1+x^2)^2}, \Gamma^{1}_{12} = \frac{-2x}{(1+x^2)^2},\Gamma^{2}_{12} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$, а все остальные нули.

Проверьте, пожалуйста. У меня получились другие выражения.

Я считал так. Обозначим $\mathbf e_k=\partial_k\,,\; \tilde{\mathbf e}_\ell=X_\ell$, формулы перехода $\tilde{\mathbf e}_\ell=\mathbf e_i P^i{}_{\tilde \ell}\,, \;\mathbf e_k=\tilde{\mathbf e}_\ell P^{\tilde \ell}{}_k$.
$\Gamma^i_{jk}\mathbf e_i=\nabla_j\mathbf e_k=\nabla_j(\tilde{\mathbf e}_\ell P^{\tilde \ell}{}_k)=\tilde{\mathbf e}_\ell\partial_j P^{\tilde \ell}{}_k+P^{\tilde \ell}{}_k{\color{blue}\nabla_j\tilde{\mathbf e}_\ell}=\mathbf e_i P^i{}_{\tilde \ell}\partial_j P^{\tilde \ell}{}_k$, (синяя производная равна нулю по условию)
откуда $\Gamma^i_{jk}=P^i{}_{\tilde \ell}\;\partial_j P^{\tilde \ell}{}_k$. Матрицы перехода:
$P^i{}_{\tilde \ell}=\begin{bmatrix}x&-1\\1&x\end{bmatrix}\,,\quad P^{\tilde \ell}{}_k=\frac 1{1+x^2}\begin{bmatrix}x&1\\-1&x\end{bmatrix}$
Так как в матрицы входит только $x^1=x$, все $\Gamma^i_{2k}=0$. Для $j=1$ имеем
$\partial_1 P^{\tilde \ell}{}_k=\frac 1{(1+x^2)^2}\begin{bmatrix}1-x^2&-2x\\2x&1-x^2\end{bmatrix}$
Это совпадает с тем, что получилось у Вас. Но в моей формуле для $\Gamma$ есть ещё один матричный множитель $P^i{}_{\tilde \ell}$.