2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 18:00 


18/10/16
32
Имеются векторные поля $X_1 = x \partial_x +  \partial_y, X_2 = -
 \partial_x + x \partial_y$. Положим $\bigtriangledown_XY=(\partial_X {\eta}^i) X_i$, если $Y = \eta^i X_i$. Найти геодезические связности \bigtriangledown.

--
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я понял, что нунжо решить данную СЛАУ:
$\frac{dx^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} = 0$.

Где символы Кристоффеля: \Gamma^{1}_{11} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}, \Gamma^{2}_{11} = \frac{2x}{(1+x^2)^2}, \Gamma^{1}_{12} = \frac{-2x}{(1+x^2)^2},\Gamma^{2}_{12} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}, а все остальные нули.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 21:21 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Прежде всего, откуда взяты эти выражения для $\Gamma^i_{jk}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 21:33 


18/10/16
32
svv,
Считал их по следующей формуле: $\bigtriangledown_k X_i=\Gamma^j_{ki} X_j$, где $X_i = \frac{\partial}{\partial x_i} $
Она, вроде бы, получилась несимметричной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 21:46 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Уравнение геодезических — это система дифференциальных уравнений второго порядка, в общем, непростая. Мы можем сильно упростить себе задачу, вот каким способом.

Пусть $\mathbf u$ — вектор с компонентами $u^i=\frac{dx^i}{dt}$. Это — касательный вектор к геодезической $x^i(t)$, который переносится параллельно вдоль самого себя. С помощью $\mathbf u$ уравнение можно переписать как $\nabla_{\mathbf u}\mathbf u=0$. Возможно, Вам встречалась и такая его форма. Расписав это в компонентах, получим опять уравнение геодезических в привычном виде.

Так вот, на основании результатов предыдущей темы Вы можете сразу написать решение $\mathbf u$ этого уравнения. Попробуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 21:56 


18/10/16
32
svv,
Я так понимаю, это какие-то прямые вида: u=C_1t+C_2?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 21:58 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Нет. Смотрите: ковариантная производная от вектора равна нулю, если он равен линейной комбинации $X_i$ с постоянными коэффициентами. Понятно, откуда я это взял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 22:13 


18/10/16
32
svv,
Да, понял, сейчас попробую расписать :)

-- 03.12.2017, 22:28 --

svv
Имеем: $\bigtriangledown_uu=(\partial_u \eta^i)X_i = u^j \frac{\partial \eta^i}{\partial x^j}X_i  + u^j \eta^i \bigtriangledown_i X_j$ и отсюда уже следуюет следующее СЛДУ: $\frac{d \eta^k}{dt} + \frac{dx^i}{dt} \Gamma^k_{ij} \eta^j = 0$, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 22:48 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Стоит Вам взять линейную комбинацию $Y=\eta^1 X_1+\eta^2 X_2$ с постоянными коэффициентами $\eta^1, \eta^2$, как её ковариантная производная сразу обращается в нуль по условию
PalmDesert в сообщении #1271488 писал(а):
Положим $\bigtriangledown_XY=(\partial_X {\eta}^i) X_i$, если $Y = \eta^i X_i$.
Ковариантная производная вдоль какого вектора $X$? Вдоль любого, потому что постоянство коэффициентов $\eta^i$ убивает ковариантную производную наповал, независимо от $X$.

Следовательно, в качестве $X$ можно взять и сам $Y$. Но тогда этот $Y=\eta^1 X_1+\eta^2 X_2$ является решением уравнения $\nabla_\mathbf v \mathbf v=0$.

Таким образом, касательный вектор геодезической известен. Неплохо было бы выразить его через базисные векторы $\partial_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 22:54 


18/10/16
32
svv,
получается уравнение геодезических это просто u=\eta^i X_i = (\eta^1x-\eta^2)\partial_x + (\eta^1+x\eta^2)\partial_y

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 22:59 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Это решение той формы уравнения геодезических, которая записана для касательного вектора $(\nabla_{\mathbf u}\mathbf u=0$).
Не забываем о важном условии: $\eta^i$ постоянные.

Теперь, имея касательный вектор, надо получить сами геодезические в виде $x^i(t, \;\text{произвольные константы})$.
Первое, что надо сделать: выразить касательный вектор через $\partial_i$.
PalmDesert в сообщении #1271669 писал(а):
Осталось просто заменить все X_i по их начальным формулам?
Не только. Надо будет решить систему ДУ. Но она много проще, чем исходное уравнение геодезических.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 23:08 


18/10/16
32
svv,
получается, имеем следующие ду:
$\frac{dx^j}{dt} = \eta^i X_i$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 23:15 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
PalmDesert в сообщении #1271669 писал(а):
$u=\eta^i X_i = (\eta^1x-\eta^2)\partial_x + (\eta^1+x\eta^2)\partial_y$
Да. Так как компоненты вектора в базисе — это коэффициенты его разложения по базисным векторам ($\partial_i$), то
$u^1=\eta^1x^1-\eta^2$
$u^2=\eta^1+x^1\eta^2$
С другой стороны, касательный вектор $\mathbf u=\frac{d}{dt}$, где $t$ — параметр. Как отсюда вывести, чему равны компоненты? Очень просто:
Так как $\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x^i}\frac{d x^i}{dt}$, то $\mathbf u=\frac d{dt}=\frac{d x^i}{dt}\frac{\partial}{\partial x^i}=\dot x^i\partial_i$
Отсюда получаем, что компоненты $u^i$ равны $\dot x^i$ (Вы выше сами до этого догадались).

Остается записать систему.

-- Вс дек 03, 2017 22:16:48 --

PalmDesert в сообщении #1271681 писал(а):
получается, имеем следующие ду:
$\frac{dx^j}{dt} = \eta^i X_i$?
Немного не так: $\frac{dx^j}{dt} = \eta^i (X_i)^j$, где $(X_i)^j$$j$-я компонента поля $X_i$ в базисе $\partial_j$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 23:33 


18/10/16
32
svv, получается, так?
$\left\{\begin{matrix}
\dot x^1 = \eta^1 x - \eta^2 \\
\dot x^2 = \eta^1 + x \eta^2 \\
\end{matrix}\right.$, откуда $\left\{\begin{matrix}
x^1 = \frac{\eta^2}{\eta^1} + C_1 e^{\eta_1 t} \\
x^2 =C_2 e^{\eta^2 t} - \frac{\eta^1}{\eta^2} \\
\end{matrix}\right.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение03.12.2017, 23:38 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
Систему записали правильно (только будем писать единообразно везде $x^1$, не $x$), за решение не ручаюсь.
Попробуйте найти константы, считая известными значения $x^i(0)$.

-- Вс дек 03, 2017 22:53:56 --

Первое уравнение удовлетворяется, второе нет. Обратите внимание, в правой части второго уравнения тоже $x^1$, не $x^2$. Найдя его из первого уравнения, подставьте во второе и просто проинтегрируйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геодезические связности
Сообщение04.12.2017, 00:01 


18/10/16
32
svv,
Хорошо, сейчас попробую :)
А как вы определили, что везде вместо x должно быть x_1?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group