Сходимость спектров операторов - любопытно просто

[AD]

Как известно, спектр любого непрерывного оператора, действующего в комплексном банаховом пространстве $E$, является непустым компактом в $\mathbb{C}$.

Как известно, есть такая замечательная штука -- Хаусдорфова метрика, которая задает некое расстояние как раз между непустыми компактами в метрическом пространстве (в частности, в $\mathbb{C}$).

Множество непустых компактов в $\mathbb{C}$, выступающее как полное метрическое пространство с хаусдорфовой метрикой $\rho(\cdot,\cdot)$ по традиции обозначим символом $e^{\mathbb{C}$.

Будет ли отображение $\sigma\colon\mathcal{L}(E)\to e^{\mathbb{C}$, сопоставляющее оператору его спектр, непрерывным в каком-нибудь смысле (скажем, в операторной норме)?

[zoo]

AD писал(а):

Как известно, спектр любого непрерывного оператора, действующего в комплексном банаховом пространстве $E$, является непустым компактом в $\mathbb{C}$.

Как известно, есть такая замечательная штука -- Хаусдорфова метрика, которая задает некое расстояние как раз между непустыми компактами в метрическом пространстве (в частности, в $\mathbb{C}$).

Множество непустых компактов в $\mathbb{C}$, выступающее как полное метрическое пространство с хаусдорфовой метрикой $\rho(\cdot,\cdot)$ по традиции обозначим символом $e^{\mathbb{C}$.

Будет ли отображение $\sigma\colon\mathcal{L}(E)\to e^{\mathbb{C}$, сопоставляющее оператору его спектр, непрерывным в каком-нибудь смысле (скажем, в операторной норме)?

убрал набросок доказательства

[Padawan]

У.Рудин Функциональный анализ М.: Мир, 1975, стр. 268, теорема 10.20. - положительный ответ в точности на Ваш вопрос.

P.S. Не совсем в точности, но похоже. Что-то я засомневался...

[zoo]

Padawan писал(а):

Не совсем в точности, но похоже. Что-то я засомневался...

по-моему даже в конечномерном случае неочевидная вещь. То есть вроде есть непрерывность но это доказать...

[ewert]

В конечномерном-то случае это легко. Пусть $P_1(\lambda)$ и $P_2(\lambda)=P_1(\lambda)+\Delta P(\lambda)$ -- характеристические многочлены для $A_1$ и $A_2$ соответственно. Для сколь угодно малого $\varepsilon>0$ окружим каждый из корней многочлена $P_1(\lambda)$ окружностью радиуса $\varepsilon$. На всех окружностях разом модуль первого многочлена оценивается снизу некоторой положительной константой $C(\varepsilon)$ (просто потому, что в окрестности каждого корня $\lambda_j$ он имеет асимптотику $$P_1(\lambda)\sim C_j(\lambda-\lambda_j)^{k_j}$). Поправка $\Delta P(\lambda)$ при $\Vert A_1-A_2\Vert\to0$ равномерно мала -- хотя бы потому, что эта поправка непрерывна относительно элементов матриц, а в качестве нормы можно взять максимум модулей элементов (все нормы ведь всё равно эквивалентны). Теперь по теореме Руше внутри каждой окружности содержится ровно столько же корней $P_2(\lambda)$ (с учётом кратности), какова кратность соотв. корня $\lambda_j$ первого многочлена.

То есть: для любого $\varepsilon>0$ при всех достаточно малых разностях норм матриц в $\varepsilon$-окрестности любой точки спектра первого оператора найдутся точки спектра второго. По симметрии утверждения верно и обратное.

[zoo]

ewert писал(а):

Теперь по теореме Руше

вот то-то и оно, вот это я понимал под неочевидностью, я правда, степень отображения использовал, что изоморфно

[ewert]

ну можно и не теорему Руше, а просто теорему о неявной функции, только там дополнительные заклинания придётся произносить. В любом случае -- идеологически очевидно.

(я понимаю, что теорема о неявной функции вроде как тоже неочевидна, и базируется, собственно, на той же Руше -- для аналитических функций, но ведь это же фольклор)

[zoo]

кстати сказать, для поточечно сходящейся последовательности операторов непрерывности не будет (в бесконечномерном случе естесна)

[ewert]

и странно было б иное, т.к. не будет равномерной сходимости самих тех операторов (вообще говоря)

[zoo]

ewert писал(а):

и странно было б иное, т.к. не будет равномерной сходимости тех операторов (вообще говоря)

а Вы что уже знаете, что равномерная сходимость необходима и достаточна для непрерывности?

[ewert]

zoo писал(а):

ewert писал(а):

и странно было б иное, т.к. не будет равномерной сходимости тех операторов (вообще говоря)

а Вы что уже знаете, что равномерная сходимость необходима и достаточна для непрерывности?

нет, я вообще ничего не знаю. Однако спектр описывается в терминах норм операторов (точнее, их ограниченности или нет), поэтому поточечная сходимость явно не должна иметь отношения к делу.

[AD]

Padawan писал(а):

Не совсем в точности, но похоже. Что-то я засомневался...

Да, мне тоже кажется, что там маловато. Там доказано (даже для любой банаховой алгебры), что спектр "допредельных" операторов с некоторого номера попадёт в любое открытое множество, содержащее спектр предельного оператора. Однако формально ничего не мешает спектрам "допредельных" операторов быть "слишком маленькими". Хотя и это тоже неплохо.

zoo писал(а):

кстати сказать, для поточечно сходящейся последовательности операторов непрерывности не будет (в бесконечномерном случе естесна)

Ну-ка, а как это выглядит? Подсказку, разумеется, хочу, если это достаточно просто.
________________

P.S.

ewert писал(а):

я понимаю, что теорема о неявной функции вроде как тоже неочевидна, и базируется, собственно, на той же Руше -- для аналитических функций

Хммм. Теорема о неявной функции - это ведь штука совершенно вещественная и $n$-мерная. А Руше -- это что-то компланистское ...

P.P.S. Вообще этот вопрос возник в [впрочем, весьма слабой] связи с задачкой на экзамене. Поболтали немного в группе про это. Было бы клёво, если бы это было верно. Спектры и хаусдорфова метрика как будто "созданы друг для друга"©.

[ewert]

AD писал(а):

Хммм. Теорема о неявной функции - это ведь штука совершенно вещественная и $n$-мерная. А Руше -- это что-то компланистское

"Комплан" (кстати, несколько дней думал, пока наконец сообразил, что это буквосочетание может означать) -- так вот: комплан -- это ну о-о-о-чень частный случай многомерного вещественного анализа. И теорема Руше -- это, действительно, специфика, порождённая этим частным случаем. В то время как теорема о неявной функции переносится напрямую. Просто доказывать её в аналитическом случае легче, чем в вещественном вообще.

[zoo]

ewert писал(а):

AD писал(а):

Хммм. Теорема о неявной функции - это ведь штука совершенно вещественная и $n$-мерная. А Руше -- это что-то компланистское

"Комплан" (кстати, несколько дней думал, пока наконец сообразил, что это буквосочетание может означать) -- так вот: комплан -- это ну о-о-о-чень частный случай многомерного вещественного анализа. И теорема Руше -- это, действительно, специфика, порождённая этим частным случаем. В то время как теорема о неявной функции переносится напрямую. Просто доказывать её в аналитическом случае легче, чем в вещественном вообще.

Теорема Руше это тоже многомерный вещественный анализ Л.Шварц "Анализ"