2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость спектров операторов - любопытно просто
Сообщение13.06.2008, 18:41 
Как известно, спектр любого непрерывного оператора, действующего в комплексном банаховом пространстве $E$, является непустым компактом в $\mathbb{C}$.

Как известно, есть такая замечательная штука -- Хаусдорфова метрика, которая задает некое расстояние как раз между непустыми компактами в метрическом пространстве (в частности, в $\mathbb{C}$).

Множество непустых компактов в $\mathbb{C}$, выступающее как полное метрическое пространство с хаусдорфовой метрикой $\rho(\cdot,\cdot)$ по традиции обозначим символом $e^{\mathbb{C}$.

Будет ли отображение $\sigma\colon\mathcal{L}(E)\to e^{\mathbb{C}$, сопоставляющее оператору его спектр, непрерывным в каком-нибудь смысле (скажем, в операторной норме)?

 
 
 
 Re: Сходимость спектров операторов - любопытно просто
Сообщение16.06.2008, 13:53 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Как известно, спектр любого непрерывного оператора, действующего в комплексном банаховом пространстве $E$, является непустым компактом в $\mathbb{C}$.

Как известно, есть такая замечательная штука -- Хаусдорфова метрика, которая задает некое расстояние как раз между непустыми компактами в метрическом пространстве (в частности, в $\mathbb{C}$).

Множество непустых компактов в $\mathbb{C}$, выступающее как полное метрическое пространство с хаусдорфовой метрикой $\rho(\cdot,\cdot)$ по традиции обозначим символом $e^{\mathbb{C}$.

Будет ли отображение $\sigma\colon\mathcal{L}(E)\to e^{\mathbb{C}$, сопоставляющее оператору его спектр, непрерывным в каком-нибудь смысле (скажем, в операторной норме)?
убрал набросок доказательства :(

 
 
 
 
Сообщение16.06.2008, 14:52 
У.Рудин Функциональный анализ М.: Мир, 1975, стр. 268, теорема 10.20. - положительный ответ в точности на Ваш вопрос.

P.S. Не совсем в точности, но похоже. Что-то я засомневался...

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 17:41 
Аватара пользователя
Padawan писал(а):
Не совсем в точности, но похоже. Что-то я засомневался...

по-моему даже в конечномерном случае неочевидная вещь. То есть вроде есть непрерывность но это доказать...

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 18:43 
В конечномерном-то случае это легко. Пусть $P_1(\lambda)$ и $P_2(\lambda)=P_1(\lambda)+\Delta P(\lambda)$ -- характеристические многочлены для $A_1$ и $A_2$ соответственно. Для сколь угодно малого $\varepsilon>0$ окружим каждый из корней многочлена $P_1(\lambda)$ окружностью радиуса $\varepsilon$. На всех окружностях разом модуль первого многочлена оценивается снизу некоторой положительной константой $C(\varepsilon)$ (просто потому, что в окрестности каждого корня $\lambda_j$ он имеет асимптотику $$P_1(\lambda)\sim C_j(\lambda-\lambda_j)^{k_j}$). Поправка $\Delta P(\lambda)$ при $\Vert A_1-A_2\Vert\to0$ равномерно мала -- хотя бы потому, что эта поправка непрерывна относительно элементов матриц, а в качестве нормы можно взять максимум модулей элементов (все нормы ведь всё равно эквивалентны). Теперь по теореме Руше внутри каждой окружности содержится ровно столько же корней $P_2(\lambda)$ (с учётом кратности), какова кратность соотв. корня $\lambda_j$ первого многочлена.

То есть: для любого $\varepsilon>0$ при всех достаточно малых разностях норм матриц в $\varepsilon$-окрестности любой точки спектра первого оператора найдутся точки спектра второго. По симметрии утверждения верно и обратное.

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 18:48 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Теперь по теореме Руше

вот то-то и оно, вот это я понимал под неочевидностью, я правда, степень отображения использовал, что изоморфно

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 18:50 
ну можно и не теорему Руше, а просто теорему о неявной функции, только там дополнительные заклинания придётся произносить. В любом случае -- идеологически очевидно.

(я понимаю, что теорема о неявной функции вроде как тоже неочевидна, и базируется, собственно, на той же Руше -- для аналитических функций, но ведь это же фольклор)

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 18:55 
Аватара пользователя
кстати сказать, для поточечно сходящейся последовательности операторов непрерывности не будет (в бесконечномерном случе естесна)

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 18:59 
и странно было б иное, т.к. не будет равномерной сходимости самих тех операторов (вообще говоря)

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 19:00 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
и странно было б иное, т.к. не будет равномерной сходимости тех операторов (вообще говоря)

а Вы что уже знаете, что равномерная сходимость необходима и достаточна для непрерывности?

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 19:02 
zoo писал(а):
ewert писал(а):
и странно было б иное, т.к. не будет равномерной сходимости тех операторов (вообще говоря)

а Вы что уже знаете, что равномерная сходимость необходима и достаточна для непрерывности?

нет, я вообще ничего не знаю. Однако спектр описывается в терминах норм операторов (точнее, их ограниченности или нет), поэтому поточечная сходимость явно не должна иметь отношения к делу.

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 19:30 
Padawan писал(а):
Не совсем в точности, но похоже. Что-то я засомневался...
Да, мне тоже кажется, что там маловато. Там доказано (даже для любой банаховой алгебры), что спектр "допредельных" операторов с некоторого номера попадёт в любое открытое множество, содержащее спектр предельного оператора. Однако формально ничего не мешает спектрам "допредельных" операторов быть "слишком маленькими". Хотя и это тоже неплохо.

zoo писал(а):
кстати сказать, для поточечно сходящейся последовательности операторов непрерывности не будет (в бесконечномерном случе естесна)
Ну-ка, а как это выглядит? Подсказку, разумеется, хочу, если это достаточно просто.
________________

P.S.
ewert писал(а):
я понимаю, что теорема о неявной функции вроде как тоже неочевидна, и базируется, собственно, на той же Руше -- для аналитических функций
Хммм. Теорема о неявной функции - это ведь штука совершенно вещественная и $n$-мерная. А Руше -- это что-то компланистское ...

P.P.S. Вообще этот вопрос возник в [впрочем, весьма слабой] связи с задачкой на экзамене. Поболтали немного в группе про это. Было бы клёво, если бы это было верно. :roll: Спектры и хаусдорфова метрика как будто "созданы друг для друга"©.

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 19:41 
AD писал(а):
Хммм. Теорема о неявной функции - это ведь штука совершенно вещественная и $n$-мерная. А Руше -- это что-то компланистское

"Комплан" (кстати, несколько дней думал, пока наконец сообразил, что это буквосочетание может означать) -- так вот: комплан -- это ну о-о-о-чень частный случай многомерного вещественного анализа. И теорема Руше -- это, действительно, специфика, порождённая этим частным случаем. В то время как теорема о неявной функции переносится напрямую. Просто доказывать её в аналитическом случае легче, чем в вещественном вообще.

 
 
 
 
Сообщение17.06.2008, 21:03 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
AD писал(а):
Хммм. Теорема о неявной функции - это ведь штука совершенно вещественная и $n$-мерная. А Руше -- это что-то компланистское

"Комплан" (кстати, несколько дней думал, пока наконец сообразил, что это буквосочетание может означать) -- так вот: комплан -- это ну о-о-о-чень частный случай многомерного вещественного анализа. И теорема Руше -- это, действительно, специфика, порождённая этим частным случаем. В то время как теорема о неявной функции переносится напрямую. Просто доказывать её в аналитическом случае легче, чем в вещественном вообще.

Теорема Руше это тоже многомерный вещественный анализ Л.Шварц "Анализ"

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group