Сечение сферы

[stupid-student]

svv
то есть в этом определителе, который я цитировал, мне нужно нормировать только нормаль? Я не понимаю, зачем я делю на куб модуля тогда, это же уже нормировка...

[svv]

Я отвечал, исходя из того, что Вы считаете по этой формуле: post1270848.html#p1270848

[stupid-student]

svv
нет, я считаю по той формуле, которую вы приводили ранее:

$$k_g=\dfrac{(\mathbf n, \dot{\mathbf r}, \ddot{\mathbf r})}{|\dot{\mathbf r}|^3}$$

И спрашиваю, что в ней нужно нормировать, а что нет.

[svv]

Только $\mathbf n$.
Интересно, что $\mathbf r''$ и $\ddot {\mathbf r}$ отличаются не только длиной, но и направлением. Но на результат это не влияет.

[stupid-student]

svv
Спасибо. Я уже так пробовал, до правильного ответа так и не добрался :(
Но спасибо Вам за то, что терпите меня уже третью страницу :)

[svv]

Ну, как сказать. Можете считать, что я на Вас немного обиделся за то, что Вы забраковали такой замечательный способ вычисления геодезической кривизны. Ладно бы ещё в дифгеме запутались, но тут же всё давно сведено к аналитической геометрии.

[stupid-student]

svv
Да запутался я там в этих параметрах, что откуда и куда меняется, как переходить от одного к другому. Это касается и "моего", и "Вашего" способа. А то, что так проще, я понял и осознал, никогда бы не додумался, спасибо. Буду иметь ввиду.

[stupid-student]

svv
Я вроде распутался, но получил совсем другой ответ, и он не очень удовлетворяет проверкам.
Сделал так:
Со штрихами - параметры какого-то эллипса, для которого я взял формулу кривизны, без штрихов - мои исходные.
Кривизна эллипса: $k = \frac{a'b'}{(a^2\cdot \sin^2(t')+b^2\cdot \cos^2(t'))^(\frac{3}{2})} $. В моем случае $a' = a$, $b'$ нашел из пересечения прямой $z=l\cdot y$ с эллипсом $\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1$. Нашел координату $y$ их пересечения и разделил на $\cos(\alpha)$ (напоминаю, что $\alpha$ - это угол наклона сечения к плоскости $x0y$). Вышло: $b' = \frac{ab}{\sqrt{a^2\cdot \sin^2(\alpha)+b^2\cdot \cos^2(\alpha))}}$.
Теперь разберемся с параметром. Вернемся к "иксам" и "игрикам" для эллипса:
$\left\{\begin{matrix} x' = a'\cdot \cos(t')\\ y' = b'\cdot \sin(t') \end{matrix}\right.$
Выразим отсюда косинусы и синусы, подставим в выражение для кривизны эллипса. Найдем связь "иксов" со штрихами с "иксами" без штрихов: $x' = x$
"Игрики": $y = y'\cdot \cos(\alpha)$
Весь этот ужас подставим в кривизну, выйдет ужас. Скалярно перемножим нормаль к эллипсоиду и нормаль к плоскости секущей, это все умножим на найденную кривизну. Логично?

[svv]

Если я правильно понял, Вы решили все координаты выразить через один параметр. Я его обозначу $t$. Наклонную полуось эллипса обозначу $c$. Тогда
$\begin{cases}x=a\cos t\\ y=c\cos\alpha\sin t\\ z=c\sin\alpha\sin t\end{cases}$
По-моему, это правильно. Так у Вас все множители будут выражены через это $t$. Что сократится — то сократится, а нет — не судьба. Более того, мне кажется, что параметр $t$ в некотором смысле лучше, чем $\theta$. Например, потому, что при малых $\alpha$ малая ошибка в задании $\theta$ может привести к большой ошибке в вычислении $(x, y, z)$. А вот малая ошибка в задании $t$ не даст большой ошибки $(x, y, z)$ ни при каких $\alpha$.

Я бы только не подставлял в формулы найденное выражение $c$ через $a, b$ и $\alpha$, чтобы не запутывать. Всегда можно после формулы написать:
... где $c=\frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\alpha+a^2\sin^2\alpha}$.
«Неподстановка» выражения для $c$ в формулы не помешает найти максимальную кривизну при данном $\alpha$, о чём Вас просил преподаватель.

В варианте с натуральной параметризацией, если помните, получалось $\mathbf r'\times\mathbf r''=k\operatorname{norm}(0,-\ell,1)$. Этот же вектор можно записать в виде $k(0, -\sin\alpha, \cos\alpha)$, где ничего нормировать не нужно.