Поволжская студенческая олимпиада, 2017 г

[fred1996]

4.

(Решение)

Очевидно да.
Извлекаем из данного числа квадратный корень. Считаем число цифр до запятой и отстчитываем такое же количество после запятой плюс еще парочку цифр. Отбрасываем запятую и прибавляем единицу. Возводим в квадрат. Получаем число, у которого первые цифры с начала совпадают с первоначальным числом

[Markiyan Hirnyk]

Спасибо. У меня вызывает сомнение первая фраза в приведенном на олимпиадной странице решении задачи 6:

Цитата:

Каждой искомой последовательности длины $ n, n > 1$, взаимно однозначно соответствует последовательность длины $n - 1$ из единиц и двоек, сумма чисел в которой не делится на 3.

[provincialka]

Markiyan Hirnyk
А что не так? Например, $n=4$, после отбрасывания последней цифры получаем $(1,2,1)$. Можете вы восстановить четвертую цифру последовательности? При условии делимости суммы на 3.

[StaticZero]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1271597 писал(а):

Да. Но, конечно, надо было доказать обратимость $A+E$

Без этого тоже можно

[fred1996]

11

(ответ)

а. 0
б. 0.5
Доказательство слишком прозрачно

[Markiyan Hirnyk]

provincialka
Мне непонятна взаимная однозначность, ибо можно отбросить и первую цифру, и любую другую.

[RIP]

(Идея решения 1)

Известная штука про сумму интегралов от функции и её обратной. Нужно рисовать картинку и считать площади. Если формулами, то

\[ \int_{0}^{b}\arcsin x\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{\arcsin b}y\,\mathrm{d}(\sin y)=b\arcsin b-\int_{0}^{\arcsin b}\sin y\,\mathrm{d}y; \]

\[ \int_{0}^{a}\sin x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{b}\arcsin x\,\mathrm{d}x-ab=\begin{cases} \int_{\arcsin b}^{a}(\sin x-b)\,\mathrm{d}x,&b\leqslant\sin a,\\ \int_{a}^{\arcsin b}(b-\sin x)\,\mathrm{d}x,&b\geqslant\sin a. \end{cases} \]

[provincialka]

Markiyan Hirnyk
Когда говорят "можно построить взаимно однозначное соответствие", не предполагается, что оно такое одно.
Да, конечно, можно построить несколько таких соответствий. Но нам достаточно того, что мы такое строить умеем. Например, отбрасывая последнюю цифру.

[StaticZero]

provincialka в сообщении #1271521 писал(а):

$$S =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n!)^2} $$

Через определённый интеграл это число легко выразить, но я что-то не соображу, что дальше.

[provincialka]

StaticZero
Нет, интеграл тут вряд ли поможет. Может, попробуете от противного?

[StaticZero]

provincialka в сообщении #1271631 писал(а):

StaticZero
Нет, интеграл тут вряд ли поможет. Может, попробуете от противного?

Как с $\sqrt 2$?

[provincialka]

StaticZero
Если вы хотите увидеть готовое решение -- я вам ссылку пришлю А "выжимать" его пошагово не стоит!
Не как с корнем, тут метод спуска не поможет. Ну.. я по, крайней мере, такого решения не знаю.

[Markiyan Hirnyk]

provincialka
Вы пишите

Цитата:

Когда говорят "можно построить взаимно однозначное соответствие", не предполагается, что оно такое одно.

В решении написано

Цитата:

Каждой искомой последовательности длины $n$, взаимно однозначно соответствует последовательность длины $n-1$ из единиц и двоек, сумма чисел в которой не делится на 3.

Согласитесь, что это различные высказывания. Приведенную в решении фразу надо отредактировать. В остальном решение задачи 6, конечно же, правильное.

[provincialka]

Markiyan Hirnyk А! Вы об этом! Ну, к сожалению в этом году не я готовила макет олимпиады... Я бы, конечно, написала по-другому.

[StaticZero]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1271648 писал(а):

StaticZero
Если вы хотите увидеть готовое решение -- я вам ссылку пришлю А "выжимать" его пошагово не стоит!
Не как с корнем, тут метод спуска не поможет. Ну.. я по, крайней мере, такого решения не знаю.

Я других методов установления иррациональности числа не знаю. Если спуск не проходит - ок, значит, решение будет мне недоступно. Готовое смотреть не буду, спасибо.