Как решать задачи по теории множеств

[gogoshik]

Дорогие участники форума, мне нужна ваша помощь в методике решения задач по основам теории множеств.

Вот к примеру есть такая задача: даны три соотношения $A \subset B$, $A \cap B=A$, $A \cup B=B$. Необходимо доказать, что из выполнения одно из них следует справедливость остальных двух.

По отдельности указанные соотношения мне вполне понятны, но как их увязать в единое доказательство (плюс к тому же грамотно оформленное) не пойму. С чего надо начать, подскажите, плиз?

[mihaild]

Начать с расписывания определения $\subset, \cup, \cap$ через принадлежность. Дальше записать формулу "$x$ принадлежит левой части доказываемого равенства" и доказать ее эквивалентность "$x$ принадлежит правой части равенства", используя посылку.

[gogoshik]

mihaild, спасибо!
Посмотрите, пожалуйста:
$A \subset B$: $\forall x$, если $x \in A$ то $x \in B$;
Если $x \in A \cap B$, то $x \in A$ и $x \in B$;
Если $x \in A \cup B$, то $x \in A$ или $x \in B$.

[mihaild]

Да, так. Теперь попробуйте доказать, что скажем если $A \subset B$ и $x \in A \cap B$, то $x \in B$.

[vpb]

А не надо мелочиться. Сделайте так: выпишите, с начала до конца и по возможности аккуратно, доказательство того, что если $A\cap B=A$, то $A\cup B=B$. Да и вообще, напишите решение исходной задачи, а там уж посмотрим (я или кто другой), есть ли у Вас проблемы с пониманием этих понятий.

[Someone]

gogoshik в сообщении #1271235 писал(а):

как их увязать в единое доказательство

Например, из первого выводите второе, потом из второго — третье, и, наконец, из третьего — первое.

[gogoshik]

mihaild в сообщении #1271259 писал(а):

Да, так. Теперь попробуйте доказать, что скажем если $A \subset B$ и $x \in A \cap B$, то $x \in B$.

Я думаю, что из посылки нам известно, что любой $x$ который принадлежит $A$, принадлежит и $B$. Так как пересечение множеств требует и то и другое, то я бы заменил (опустил) $x \in A$ на $x \in B$ и получил просто $x \in B$. Я не понимаю как это записывается.

[mihaild]

Вы знаете, что $x \in A \rightarrow x \in B$ (1). Вам нужно доказать $(x \in A \wedge x \in B) \leftrightarrow x \in A$. Как можно записать левую часть эквивалентности с учетом (1)?

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1271259 писал(а):

Да, так. Теперь попробуйте доказать, что скажем если $A \subset B$ и $x \in A \cap B$, то $x \in B$.

Очень неудачно сформулированное подзадание. Ведь из $x\in A\cap B$ следует $x\in B$ в любом случае, условие $A\subset B$ здесь не требуется.
Кроме того, Вы наверняка хотели написать в правой части $x\in A$ вместо $x\in B$.
Надо было сформулировать подзадание как-нибудь так: если $A\subset B$, то $x\in A\cap B$ эквивалентно $x\in A$ (а не $B$!).

gogoshik в сообщении #1271372 писал(а):

Я думаю, что из посылки нам известно, что любой $x$ который принадлежит $A$, принадлежит и $B$. Так как пересечение множеств требует и то и другое, то я бы заменил (опустил) $x \in A$ на $x \in B$ и получил просто $x \in B$. Я не понимаю как это записывается.

Насчёт формы записи не беспокойтесь сильно: она не важна, если всё логично и обосновано.
Ну, конечно, если Вас интересует формализованная теория, то форма записи важна, а так вполне можно прожить, не думая о каком-то "правильном оформлении".

Так как Вас выше немного запутали (ненамеренно), расскажу как решать одно из подзаданий. С остальными разберётесь сами.
Итак, дано что $A\subset B$. Тогда $x\in A\cap B$ $\Rightarrow$ $x\in A$ И $x\in B$ $\Rightarrow$ $x\in A$ (в одну сторону);
$x\in A$ $\Rightarrow$ $x\in B$ (в силу $A\subset B$) $\Rightarrow$ $x\in A\cap B$ (в силу $x\in A$ и $x\in B$) (в другую сторону).
Итак, мы доказали, что если $A\subset B$, то $x\in A\cap B$ $\Leftrightarrow$ $x\in A$. Эта эквивалентность означает, что $A\cap B=A$.
Тем самым, доказано, что из $A\subset B$ следует $A\cap B=A$. Что там ещё осталось доказать?

[kotenok gav]

Mikhail_K в сообщении #1271382 писал(а):

Очень неудачно сформулированное подзадание. Ведь из $x\in A\cap B$ следует $x\in B$ в любом случае, условие $A\subset B$ здесь не требуется.
Кроме того, Вы наверняка хотели написать в правой части $x\in A$ вместо $x\in B$.
Надо было сформулировать подзадание как-нибудь так: если $A\subset B$, то $x\in A\cap B$ эквивалентно $x\in A$ (а не $B$!).

mihaild в сообщении #1271381 писал(а):

ам нужно доказать $(x \in A \wedge x \in B) \leftrightarrow x \in A$

[vpb]

Совершенно верно, Mikhail_K прав. Вас ненамеренно подзапутали. Во всяком случае, что я Вам писал (вывести из $A\cap B=A$, что $A\cup B=B$ ) --- неправильный совет. Если уж устанавливать эквивалентность этих трех утверждений, то в другом порядке. А самый лучший совет --- не читать советов (разве что то, что написал Mikhail_K), а сосредоточиться, попытаться все сделать самоcтоятельно, а потом показать, что получилось. Если будете решать целиком и сами, то в голове в конце концов будет цельная картинка, а если по советам и микроскопическими кусочками --- то каша. Ибо это вообще задача очень простая.

[kernel1983]

Можно, используя основные законы логики высказываний, показать, что, каким бы ни был элемент $x$, высказывание $(x \in M \wedge x \in N) \leftrightarrow x \in M$ равносильно высказыванию $x \in M \to x \in N$. Другая часть задачи - аналогично.

[gogoshik]

Mikhail_K в сообщении #1271382 писал(а):

Итак, дано что $A\subset B$. Тогда $x\in A\cap B$ $\Rightarrow$ $x\in A$ И $x\in B$ $\Rightarrow$ $x\in A$ (в одну сторону);

Я думал, что это утверждение необходимо доказать, а Вы его выводите как следствие из посылки $A\subset B$.

Сейчас попробую по Вашему шаблону. Пусть $A\subset B$.

Тогда $x\in A\cup B \Rightarrow (x\in A) \vee (x\in B)$. Тогда, если $x\in A$, то $x\in B$ (в силу $A\subset B$). В случае, если $x\in B$ ничего не меняется. Следовательно в любом случае $x\in B$.

В обратную сторону я застрял. Из того, что $x\in B явно следует $x\in A$ или $x\notin A$. Если $x\in A$, то $x\in B. Вернулись обратно. Если $x\notin A$, то $(x\notin A) \wedge (x\in B) $. И уходим в какие то дебри.

[Mikhail_K]

gogoshik в сообщении #1271475 писал(а):

В обратную сторону я застрял.

Как раз в обратную сторону всё просто. Из $x\in B$ автоматически следует $(x\in A)\vee(x\in B)$, а это и есть $x\in A\cup B$. Здесь даже посылку $A\subset B$ использовать не пришлось. А вот почему следует - ну, вспоминайте логику.

-- 03.12.2017, 18:06 --

gogoshik в сообщении #1271475 писал(а):

Я думал, что это утверждение необходимо доказать

Непонятно, что Вы думали. Надо доказать, что

gogoshik в сообщении #1271235 писал(а):

из выполнения одного из них <утверждений в первом сообщении темы> следует справедливость остальных двух.

В частности, что из $A\subset B$ следует $A\cap B=A$. Утверждение $A\cap B=A$ эквивалентно такому: $x\in A\cap B$ $\Leftrightarrow$ $x\in A$ (т.е., грубо говоря, равенство множеств $A\cap B$ и $A$ означает, что они состоят из одних и тех же точек $x$, и если какая-то точка $x$ принадлежит одному из этих множеств, то обязательно принадлежит и другому). Стало быть, надо доказать, что из $A\subset B$ следует $x\in A\cap B$ $\Leftrightarrow$ $x\in A$. Это я и доказал в своём сообщении.

gogoshik в сообщении #1271475 писал(а):

а Вы его выводите как следствие из посылки $A\subset B$.

Заметьте, что как раз в процитированном Вами участке эта посылка не использовалась.

[kernel1983]

А вот зачем следование доказывать? Сразу же эквивалентность можно доказать...