2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 00:41 


11/12/16
160
Дорогие участники форума, мне нужна ваша помощь в методике решения задач по основам теории множеств.

Вот к примеру есть такая задача: даны три соотношения $A \subset B$, $A \cap B=A$, $A \cup B=B$. Необходимо доказать, что из выполнения одно из них следует справедливость остальных двух.

По отдельности указанные соотношения мне вполне понятны, но как их увязать в единое доказательство (плюс к тому же грамотно оформленное) не пойму. С чего надо начать, подскажите, плиз?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1590
Москва
Начать с расписывания определения $\subset, \cup, \cap$ через принадлежность. Дальше записать формулу "$x$ принадлежит левой части доказываемого равенства" и доказать ее эквивалентность "$x$ принадлежит правой части равенства", используя посылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 01:18 


11/12/16
160
mihaild, спасибо!
Посмотрите, пожалуйста:
$A \subset B$: $\forall x$, если $x \in A$ то $x \in B$;
Если $x \in A \cap B$, то $x \in A$ и $x \in B$;
Если $x \in A \cup B$, то $x \in A$ или $x \in B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1590
Москва
Да, так. Теперь попробуйте доказать, что скажем если $A \subset B$ и $x \in A \cap B$, то $x \in B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 01:41 


18/01/15
221
А не надо мелочиться. Сделайте так: выпишите, с начала до конца и по возможности аккуратно, доказательство того, что если $A\cap B=A$, то $A\cup B=B$. Да и вообще, напишите решение исходной задачи, а там уж посмотрим (я или кто другой), есть ли у Вас проблемы с пониманием этих понятий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 01:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15156
Новомосковск
gogoshik в сообщении #1271235 писал(а):
как их увязать в единое доказательство
Например, из первого выводите второе, потом из второго — третье, и, наконец, из третьего — первое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 12:53 


11/12/16
160
mihaild в сообщении #1271259 писал(а):
Да, так. Теперь попробуйте доказать, что скажем если $A \subset B$ и $x \in A \cap B$, то $x \in B$.
Я думаю, что из посылки нам известно, что любой $x$ который принадлежит $A$, принадлежит и $B$. Так как пересечение множеств требует и то и другое, то я бы заменил (опустил) $x \in A$ на $x \in B$ и получил просто $x \in B$. Я не понимаю как это записывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1590
Москва
Вы знаете, что $x \in A \rightarrow x \in B$ (1). Вам нужно доказать $(x \in A \wedge x \in B) \leftrightarrow x \in A$. Как можно записать левую часть эквивалентности с учетом (1)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2650
mihaild в сообщении #1271259 писал(а):
Да, так. Теперь попробуйте доказать, что скажем если $A \subset B$ и $x \in A \cap B$, то $x \in B$.
Очень неудачно сформулированное подзадание. Ведь из $x\in A\cap B$ следует $x\in B$ в любом случае, условие $A\subset B$ здесь не требуется.
Кроме того, Вы наверняка хотели написать в правой части $x\in A$ вместо $x\in B$.
Надо было сформулировать подзадание как-нибудь так: если $A\subset B$, то $x\in A\cap B$ эквивалентно $x\in A$ (а не $B$!).
gogoshik в сообщении #1271372 писал(а):
Я думаю, что из посылки нам известно, что любой $x$ который принадлежит $A$, принадлежит и $B$. Так как пересечение множеств требует и то и другое, то я бы заменил (опустил) $x \in A$ на $x \in B$ и получил просто $x \in B$. Я не понимаю как это записывается.
Насчёт формы записи не беспокойтесь сильно: она не важна, если всё логично и обосновано.
Ну, конечно, если Вас интересует формализованная теория, то форма записи важна, а так вполне можно прожить, не думая о каком-то "правильном оформлении".

Так как Вас выше немного запутали (ненамеренно), расскажу как решать одно из подзаданий. С остальными разберётесь сами.
Итак, дано что $A\subset B$. Тогда $x\in A\cap B$ $\Rightarrow$ $x\in A$ И $x\in B$ $\Rightarrow$ $x\in A$ (в одну сторону);
$x\in A$ $\Rightarrow$ $x\in B$ (в силу $A\subset B$) $\Rightarrow$ $x\in A\cap B$ (в силу $x\in A$ и $x\in B$) (в другую сторону).
Итак, мы доказали, что если $A\subset B$, то $x\in A\cap B$ $\Leftrightarrow$ $x\in A$. Эта эквивалентность означает, что $A\cap B=A$.
Тем самым, доказано, что из $A\subset B$ следует $A\cap B=A$. Что там ещё осталось доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 13:38 


21/05/16
1043
Аделаида
Mikhail_K в сообщении #1271382 писал(а):
Очень неудачно сформулированное подзадание. Ведь из $x\in A\cap B$ следует $x\in B$ в любом случае, условие $A\subset B$ здесь не требуется.
Кроме того, Вы наверняка хотели написать в правой части $x\in A$ вместо $x\in B$.
Надо было сформулировать подзадание как-нибудь так: если $A\subset B$, то $x\in A\cap B$ эквивалентно $x\in A$ (а не $B$!).

mihaild в сообщении #1271381 писал(а):
ам нужно доказать $(x \in A \wedge x \in B) \leftrightarrow x \in A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 13:41 


18/01/15
221
Совершенно верно, Mikhail_K прав. Вас ненамеренно подзапутали. Во всяком случае, что я Вам писал (вывести из $A\cap B=A$, что $A\cup B=B$ ) --- неправильный совет. Если уж устанавливать эквивалентность этих трех утверждений, то в другом порядке. А самый лучший совет --- не читать советов (разве что то, что написал Mikhail_K), а сосредоточиться, попытаться все сделать самоcтоятельно, а потом показать, что получилось. Если будете решать целиком и сами, то в голове в конце концов будет цельная картинка, а если по советам и микроскопическими кусочками --- то каша. Ибо это вообще задача очень простая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 16:21 


10/11/15
96
Можно, используя основные законы логики высказываний, показать, что, каким бы ни был элемент $x$, высказывание $(x \in M \wedge x \in N) \leftrightarrow x \in M$ равносильно высказыванию $x \in M \to x \in N$. Другая часть задачи - аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 17:39 


11/12/16
160
Mikhail_K в сообщении #1271382 писал(а):
Итак, дано что $A\subset B$. Тогда $x\in A\cap B$ $\Rightarrow$ $x\in A$ И $x\in B$ $\Rightarrow$ $x\in A$ (в одну сторону);
Я думал, что это утверждение необходимо доказать, а Вы его выводите как следствие из посылки $A\subset B$.

Сейчас попробую по Вашему шаблону. Пусть $A\subset B$.

Тогда $x\in A\cup B \Rightarrow (x\in A) \vee  (x\in B)$. Тогда, если $x\in A$, то $x\in B$ (в силу $A\subset B$). В случае, если $x\in B$ ничего не меняется. Следовательно в любом случае $x\in B$.

В обратную сторону я застрял. Из того, что $x\in B явно следует $x\in A$ или $x\notin A$. Если $x\in A$, то $x\in B. Вернулись обратно. Если $x\notin A$, то $(x\notin A) \wedge (x\in B) $. И уходим в какие то дебри.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2650
gogoshik в сообщении #1271475 писал(а):
В обратную сторону я застрял.
Как раз в обратную сторону всё просто. Из $x\in B$ автоматически следует $(x\in A)\vee(x\in B)$, а это и есть $x\in A\cup B$. Здесь даже посылку $A\subset B$ использовать не пришлось. А вот почему следует - ну, вспоминайте логику.

-- 03.12.2017, 18:06 --

gogoshik в сообщении #1271475 писал(а):
Я думал, что это утверждение необходимо доказать
Непонятно, что Вы думали. Надо доказать, что
gogoshik в сообщении #1271235 писал(а):
из выполнения одного из них <утверждений в первом сообщении темы> следует справедливость остальных двух.
В частности, что из $A\subset B$ следует $A\cap B=A$. Утверждение $A\cap B=A$ эквивалентно такому: $x\in A\cap B$ $\Leftrightarrow$ $x\in A$ (т.е., грубо говоря, равенство множеств $A\cap B$ и $A$ означает, что они состоят из одних и тех же точек $x$, и если какая-то точка $x$ принадлежит одному из этих множеств, то обязательно принадлежит и другому). Стало быть, надо доказать, что из $A\subset B$ следует $x\in A\cap B$ $\Leftrightarrow$ $x\in A$. Это я и доказал в своём сообщении.
gogoshik в сообщении #1271475 писал(а):
а Вы его выводите как следствие из посылки $A\subset B$.
Заметьте, что как раз в процитированном Вами участке эта посылка не использовалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как решать задачи по теории множеств
Сообщение03.12.2017, 18:13 


10/11/15
96
А вот зачем следование доказывать? Сразу же эквивалентность можно доказать...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group