школьная геометрия *

[DeBill]

Kornelij в сообщении #1269459 писал(а):

может, есть что-то проще

Это вряд ли...
Можно, конечно, тригонометрией...Но это тоже не подарок.

[fred1996]

DeBill в сообщении #1269453 писал(а):

Kornelij
Ну, я, типа, хотел сказать, что углы $EDB,EBD,CBM,BME$ равны. И тогда точки $E,D,M,B$ - на окружности ($BE$ из $D,M$ виден под одним углом).
Так что угол $MEB$ равен $MDB$...

Ужос какой.
Вот за что люблю геометрию, что даже если вусмерть непонятно, как решать задачу, то хоть понятно само решение.

[fred1996]

DeBill
Кстати, нашел тригонометрическое решение.
Мне кажется оно гораздо проще чем геометрическое.
Использует всего два тригонометрических соотношения в треугольниках.
Оба соотношения - это в определенном смысле теорема синусов.

[sergey1]

Еще одно решение можно получить, продлив биссектрису до пересечения с описанной окружностью исходного треугольника.

[DeBill]

Kornelij в сообщении #1269429 писал(а):

Хотя... если еще продлить $BM$ и рассмотреть описанную окружность.... то где-то там..

Так это ж хорошо! Если продленная $BM$ пересекает окр-ть в $M'$, а продленная $BD$ - в $D'$, то равенство дуг $AD'$ и $M'C$ дает параллельность $AC$ и $D'M'$, так что $BM'$ - диаметр. Ну, и коль он делит хорду $AC$ пополам, то либо она ему перпендикулярна (что - низя по неравнобедренности), либо она сама - диаметр...
Так - короче, однако.

[wrest]

Kornelij в сообщении #1269459 писал(а):

Я к тому, что, может, есть что-то проще?

Ну для "проще" нужны специальные "олимпийские" знания
BD является симедианой, а как всем известно, семидиана в неравнобедренном треугольнике может совпадать с высотой только если треугольник прямоугольный а семидиана проведена к гипотенузе

[fred1996]

К то мне объяснит такую вещь.
Ведь если равенство этих уголков приводит к прямоугольности треугольника, то устремив эти углы к нулю мы вроде должны в пределе и получить опять прямоугольный треугольник. Но очевидно, что для нулевых углов это утверждение неверно. Поскольку в любом равнобедренном треугольнике у нас высота, биссектриса и медиана совпадают. Видимо при малых углах получается некая неустойчивость решения. Грубо говоря, Неравенство боковых сторон треугольника первого порядка малости приводит к Величинам этих малеьких углов второго порядка малости. Ну то есть при стремлении этих углов к нулю получается некоторое вырождение решения.

[fred1996]

Поскольку уже привели геометрические доказательства, можно и тригонометрическое привести.
Полноты картины ради.
[/quote]
Итак, у нас задан треугольник $ABC$
$BD$ - высота
$BE$ - биссектриса
$BF$ - медиана
В общем красотищща.

Теперь обозначим $\angle DBE=\angle EBF=\alpha$, $\angle ABD=\angle FBC=\beta$, а $\angle AFB=\gamma$
И соответственно стороны $AB=c, BC=a, AC=b$

Условие на биссектрисность уже выполнено. Теперь надо конвертировать в формулы высотность и медианность.

Для высоты имеем равенство:
1. $c\cos\beta = a\cos(2\alpha+\beta)$

Теперь для медианы имеем:
По теореме синусов для треугольника $ABF$ имеем:
2. $\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{b/2}{\sin(2\alpha+\beta)}$
А для треугольника $FBC$ имеем:
3. $\frac{a}{\sin(\pi-\gamma)}=\frac{b/2}{\sin\beta}$

Делим 2. На 3. И после сокращений получаем:
4. $c\sin(2\alpha+\beta)=a\sin\beta$

Остается разделить 1. На 4.,
После чего приведение к двойным углам дает
$\sin(4\alpha+2\beta)=\sin(2\beta)$
Нетривиальное решение этого уравнения дает:
$4\alpha+2\beta=\pi-2\beta$
Или $2\alpha+2\beta=\frac{\pi}{2}$ чтд.

[wrest]

DeBill в сообщении #1269944 писал(а):

Если продленная $BM$ пересекает окр-ть в $M'$, а продленная $BD$ - в $D'$, то равенство дуг $AD'$ и $M'C$ дает параллельность $AC$ и $D'M'$, так что $BM'$ - диаметр.

Как из параллельности $AC$ и $D'M'$ следует что $BM'$ - диаметр? По-моему - никак не следует.
Вот здесь вокруг треугольника $ABC$ описана окружность (с центром в $O$), $AM=CM$, т.е.
$BM$ -- медиана, $BK$ биссектриса угла $\angle ABC$, но $BD$ - не высота и соответственно $BM'$ не диаметр.

DeBill в сообщении #1269944 писал(а):

Ну, и коль он делит хорду $AC$ пополам, то либо она ему перпендикулярна (что - низя по неравнобедренности), либо она сама - диаметр...

Ну вот на картинке выше $BM'$ делит $AC$ пополам...

Но если мы добавляем условие что $BD$ перпендикулярна $AC$, то вот тогда из параллельности $AC$ и $D'M'$ следует, что угол $\angle BD'M'$ прямой, а значит $BM'$ - диаметр. И вот тогда из неравнобедренности получается, что $AC$ диаметр, а значит угол $\angle ABC$ прямой.

Действительно, выходит просто и коротко, по-школьному

[fred1996]

Самое простое доказательство. Не мое.

Позвонил одному приятелю - математику-топологу по образованию. Но он уже более 30 лет не занимается математикой. Программист на Уолл-Стрит. Рассказал ему условия задачи. Он думал полторы минуты и выдал очень простенькое, и я бы сказал очень физичное и в общем поучительное решение. Просто воспользовавшись известным методом от противного.
Итак. Пусь у нас угол B прямой. Тогда поскольку $BF$ медиана, то $\angle ABD=\angle FBC$, и , соответственно $\angle DBE=\angle EBF$.
Теперь будем двигать точку $C$ вправо или влево. Треугольник перестает быть прямоугольным, но, как нетрудно заметить, величина угла $FBC$ монотонно изменяется с перемещением точки $C$. Монотонно убывает при перемещении вправо. То есть только когда треугольник прямоугольный, у нас появляется равенство углов.

Я ды назвал это решение более даже физическим. Хотя математики могут возразить, что оно еще и "фунциональное".
Мне всегда нравилось, когда задача может быть решена казалось бы с помощью различного инструментария.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1270788 писал(а):

Тогда поскольку $BF$ медиана, то $\angle ABD=\angle FBC$

И откуда это следует?

[fred1996]

wrest в сообщении #1270813 писал(а):

fred1996 в сообщении #1270788 писал(а):

Тогда поскольку $BF$ медиана, то $\angle ABD=\angle FBC$

И откуда это следует?

В прямоугольном треугольнике $\angle FBC=\angle BCA$, а $\angle BCA=\angle ABD$ из подобия прямоугольных треугольников $ABC$ и $ABD$

[wrest]

fred1996 в сообщении #1270788 писал(а):

Монотонно убывает при перемещении вправо.

А влево? Очевидно когда треугольник станет равнобедренным, углы опять сравняются.

[grizzly]

wrest в сообщении #1270822 писал(а):

Очевидно когда треугольник станет равнобедренным, углы опять сравняются.

Верно. Точнее, проблема в том, что разность между рассматриваемыми углами изменяется не монотонно: сперва увеличивается, потом снова уменьшается до нуля. И приведенное "показательство"* этого никак не объясняет и не гарантирует, что такое не случится ещё несколько раз.

*я не имею в виду ничего обидного

[fred1996]

grizzly в сообщении #1270835 писал(а):

wrest в сообщении #1270822 писал(а):

Очевидно когда треугольник станет равнобедренным, углы опять сравняются.

Верно. Точнее, проблема в том, что разность между рассматриваемыми углами изменяется не монотонно: сперва увеличивается, потом снова уменьшается до нуля. И приведенное "показательство"* этого никак не объясняет и не гарантирует, что такое не случится ещё несколько раз.

*я не имею в виду ничего обидного

Кажется я невнимательно прочитал присланное мне доказательство. Там рассматриваются другие углы. Один из которых растет с нуля, другой с фиксированного значения. Но первый растет быстрее. И точка, где они сравняются, и соответствует прямому углу. Там тертежа нет - все на словах. Мне сама идея доказательства шибко понравилась, поэтому и запостил сюда не подумав хорошенько. К сожалению сейчас пока нет времени разбираться. Кому интересно, может сам воспользоваться идеей. А я, если сам не додумаюсь, в понедельник спрошу у автора.