Самое простое доказательство. Не мое.

Позвонил одному приятелю - математику-топологу по образованию. Но он уже более 30 лет не занимается математикой. Программист на Уолл-Стрит. Рассказал ему условия задачи. Он думал полторы минуты и выдал очень простенькое, и я бы сказал очень физичное и в общем поучительное решение. Просто воспользовавшись известным методом от противного.
Итак. Пусь у нас угол B прямой. Тогда поскольку

медиана, то

, и , соответственно

.
Теперь будем двигать точку

вправо или влево. Треугольник перестает быть прямоугольным, но, как нетрудно заметить, величина угла

монотонно изменяется с перемещением точки

. Монотонно убывает при перемещении вправо. То есть только когда треугольник прямоугольный, у нас появляется равенство углов.
Я ды назвал это решение более даже физическим. Хотя математики могут возразить, что оно еще и "фунциональное".
Мне всегда нравилось, когда задача может быть решена казалось бы с помощью различного инструментария.