Предельные точки степеней синуса

[RIP]

Найдите множество предельных точек последовательности $a_n=(\sin n)^n$.

[gris]

Думаю, что прошло достаточно времени, чтобы позволить чисто любительские соображения.
Все мы знаем, что синус от натурального аргумента всюду плотно заполняет интервал $(-1,1)$. Ясно, что возведение в фиксированную (ради сохранения интервала скажем, что нечётную) степень сносит значения к нулю, но всюдуплотность одолеть не сможет. Рассмотрим переменный (увеличивающийся) показатель степени. Очевидно, что снос к нулю будет всё сильнее. Весь вопрос в том, что будет происходить в окрестностях узловых точек, где синус близок по модулю к единице. Что победит: показатель степени или степень приближения? Если в последовательности есть бесконечно много членов, больших некоторого положительного числа, то ответом будет всюду плотное заполнение интервала. То есть любое число из интервала $[-1,1]$ будет предельной точкой. Мне кажется, что так оно и есть. Но тут надо, наверное, анализировать приближения $\pi/2$ рациональными числами.
И ещё мне кажется, что показатель $n^2$ не оставит надежды отличному от нуля числу Я передумал!!!

[worm2]

gris в сообщении #1262420 писал(а):

тут надо, наверное, анализировать приближения $\pi/2$ рациональными числами.

По общей теории приближения непрерывными дробями (знание конкретного числа $\pi/2$ нам тут не помогает), если только среди знаменателей подходящих дробей найдётся бесконечная нечётная подпоследовательность (что я считаю весьма вероятным, но строго не доказал), то 1 будет предельной точкой. Про промежуточные точки пока не ясно. Общая теория тут недостаточно сильна, но тем и хороша задача!

[RIP]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1262420 писал(а):

И ещё мне кажется, что показатель $n^2$ не оставит надежды отличному от нуля числу

Вы будете смеяться, но оставит. Возьмите, например, n=16596120839337488210486257463541589676929944890483302855806560015216651929340340573573873586873615346178807166362103011246608155705072771649283.

[gris]

А я уже даже подумал, что если показателем взять $n!$ в степени $n!$ и так $n!$ раз, то и тогда...
Раз нет никакой оценки точности приближения.
Не поможет ли рассмотрение функции $\sin^x x$? Она же непрерывна и приближённо периодична с иррациональным периодом. Те же рассуждения, что просто с синусом не пройдут? Я всё насчёт всюдуплотности

[sup]

Да слишком хороших приближений и не требуется.
Пусть

$$n = \frac{\pi}{2} + 2k \pi + \frac{\alpha}{\sqrt n}$$

Тогда

$$\sin n \approx 1 - \frac{\alpha ^2}{2n}, \quad (\sin n)^n \approx e^{ - \frac{\alpha ^2}{2}}$$

А вот для степени $n^2$ уже требуется приближение вида

$$n = \frac{\pi}{2} + 2k \pi + \frac{\alpha}{n}$$

[maxal]

Напомнило Флинта Хиллса https://arxiv.org/abs/1104.5100

[Markiyan Hirnyk]

Математический эксперимент с Мэйплом

plot(sin(n)^n, n = 1 .. 100, style = point);
plot(sin(n)^n, n = 10000 .. 10100, style = point);
plot(sin(n)^n, n = 100000 .. 100100, style = point);
plot(sin(n)^n, n = 1000000 .. 1000100, style = point);
plot(sin(n)^n, n = 10000000 .. 11000000, style = point);

подтверждает $0$ как единственную предельную точку. Cм. здесь.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270644 писал(а):

подтверждает $0$ как единственную предельную точку

Вы что-то пропустили.

[Markiyan Hirnyk]

grizzly Пожалуйста, изложите вашу мысль подробнее, четко и ясно, ясно и четко . Заранее признателен вам.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk
В сообщении, на которое я сослался, было показано, что множество предельных точек этой последовательности есть весь отрезок.

[Markiyan Hirnyk]

grizzly Если вас не затруднит, укажите, пожалуйста, кем. И почему обсуждение на этом не закончилось? В sup, насколько я понимаю, $\alpha$ зависит от натурального числа $n$. Да и графики упрямая вещь, особенно последний.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270673 писал(а):

Если вас не затруднит, укажите, пожалуйста, кем.

Автора сообщения Вы можете узнать, посмотрев поле в табличке слева (там ещё аватарки у некоторых).
Обсуждение на этом не закончилось [в некотором смысле], потому что с этим вопросом косвенно связана интереснейшая статья одного из участников, который её и привёл. Лично я всячески приветствую подобные связи на форуме (и в математике вообще).

-- 01.12.2017, 14:57 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270673 писал(а):

В sup, насколько я понимаю, $\alpha$ зависит от $n$.

Maple Вам подтвердит, что таким образом можно неограниченное число раз достигать нужной степени приближения.

-- 01.12.2017, 15:03 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270673 писал(а):

Да и графики упрямая вещь, особенно последний.

Вы рассматриваете эти графики на таких ничтожных интервалах. Посмотрите, для примера, здесь, в каких интервалах было бы лучше начинать искать.

[Markiyan Hirnyk]

grizzly
Пожалуйста, обоснуйте

Цитата:

Maple Вам подтвердит, что таким образом можно неограниченное число раз достигать нужной степени приближения

четко и ясно, ясно и четко. Заранее благодарен вам.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1270680 писал(а):

четко и ясно, ясно и четко. Заранее благодарен вам.

Если бы Вы сразу ясно и чётко сказали, что не поняли обсуждения выше, я бы не предположил, что Вы что-то пропустили.

Я попытаюсь Вам помочь. Вот первая попавшаяся ссылка из гугла, найдите там цитату:

Цитата:

Picking an appropriate sequence of n, we see that $\lim \sup |\sin(m)^m|$ is at least 1.

Посмотрите обсуждение вокруг (выше и ниже) -- там всё очень подробно разжёвано. Если останутся вопросы, приходите с ними в раздел ПРР(М) -- Вам помогут.