2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение30.11.2017, 09:20 
Заслуженный участник


22/11/10
1140

(большая подсказка)

g______d в сообщении #1270286 писал(а):
найти инфимум мер, потом рассмотреть счётную последовательность множеств, на которых он реализуется

Ну, Вы, по сути, дали схему для решения исходной задачи. И до этого "жирную" подсказку выдали :-)
Я правда, чуть по другому действовал. Не просто инфимум мер, а систему вложенных множеств с уменьшающейся мерой. На этом пути и полную задачу легко решить.
Но главное и в Вашем рассуждении и в моем --- "сепарабельность" $[0,1]$.

Короче.
Лемма Цорна, "сепарабельность" $[0,1]$, счетная аддитивность, плюс исходное условие существования промежуточных множеств. Все вместе и решает задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение30.11.2017, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4772

(Ещё по поводу решения)

Мне понравился следующий трюк из исходного решения, похожий на рассуждение mihaild. Заметим, что у любого множества положительной меры есть подмножества сколь угодно малой меры (потому что применением свойства из условия можно уменьшать меру как минимум в 2 раза). Пусть $\mu(B)>0$. Покажем, что существует $A\subset B$, такое что $\frac14 \mu(B)\le \mu(A)\le \frac12 \mu(B)$.

Рассмотрим все подмножества $B$ с мерой $\le \frac14 \mu(B)$. Возьмём счётную последовательность, реализующую супремум их мер. Их объединение имеет меру $\ge \frac14 \mu(B)$ (потому что иначе можно вычесть это объединение из $B$, взять у того, что получилось, подмножество достаточно малой меры, и получить противоречие с супремумностью).

Если мера объединения при этом случайно оказалась $>\frac12 \mu(B)$, то вместо бесконечного объединения будем брать конечные объединения и добавлять множества по одному; поскольку каждый раз мы добавляем $\le \frac14 \mu(B)$ и мера непрерывна, мы не сможем пропустить нужный интервал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group