Промежуточные значения меры

[sup]

(большая подсказка)

g______d в сообщении #1270286 писал(а):

найти инфимум мер, потом рассмотреть счётную последовательность множеств, на которых он реализуется

Ну, Вы, по сути, дали схему для решения исходной задачи. И до этого "жирную" подсказку выдали
Я правда, чуть по другому действовал. Не просто инфимум мер, а систему вложенных множеств с уменьшающейся мерой. На этом пути и полную задачу легко решить.
Но главное и в Вашем рассуждении и в моем --- "сепарабельность" $[0,1]$.

Короче.
Лемма Цорна, "сепарабельность" $[0,1]$, счетная аддитивность, плюс исходное условие существования промежуточных множеств. Все вместе и решает задачу.

[g______d]

(Ещё по поводу решения)

Мне понравился следующий трюк из исходного решения, похожий на рассуждение mihaild. Заметим, что у любого множества положительной меры есть подмножества сколь угодно малой меры (потому что применением свойства из условия можно уменьшать меру как минимум в 2 раза). Пусть $\mu(B)>0$. Покажем, что существует $A\subset B$, такое что $\frac14 \mu(B)\le \mu(A)\le \frac12 \mu(B)$.

Рассмотрим все подмножества $B$ с мерой $\le \frac14 \mu(B)$. Возьмём счётную последовательность, реализующую супремум их мер. Их объединение имеет меру $\ge \frac14 \mu(B)$ (потому что иначе можно вычесть это объединение из $B$, взять у того, что получилось, подмножество достаточно малой меры, и получить противоречие с супремумностью).

Если мера объединения при этом случайно оказалась $>\frac12 \mu(B)$, то вместо бесконечного объединения будем брать конечные объединения и добавлять множества по одному; поскольку каждый раз мы добавляем $\le \frac14 \mu(B)$ и мера непрерывна, мы не сможем пропустить нужный интервал.