2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 07:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Пусть $(X,\mathcal B,\mu)$ -- пространство с вероятностной мерой $(\mu(X)=1)$, удовлетворяющее следующему свойству: для любого измеримого $B$, такого что $\mu(B)>0$, существует измеримое $A\subset B$, такое что $0<\mu(A)<\mu(B)$.

Доказать, что для любого $t\in [0,1]$ существует измеримое $E$, такое что $\mu(E)=t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 09:25 
Аватара пользователя


04/10/15
228

(Оффтоп)

Так это ведь теорема Серпинского! Интересно было бы посмотреть на доказательство без трансфинитной индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Да, оказалось, что это довольно известная теорема, но без гугла было довольно интересно порешать.

iou в сообщении #1270096 писал(а):
Интересно было бы посмотреть на доказательство без трансфинитной индукции.


Ну я бы сказал, что оно скорее "без", но не могу придумать более содержательного комментария, чтобы не спойлерить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2015
Москва

(Вроде счетной достаточно)

Достаточно, чтобы можно было покрыть всё пространство дизъюнктными множествами меры меньше $\varepsilon$. А для этого достаточно, чтобы существовало подмножество меры $\left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$ - тогда всё множество разбивается на две части размером не более $\frac{3}{4}$ каждая, они в свою очередь разбиваются на части размером не больше $\frac{9}{16}$ и т.д.
Пусть таких подмножеств нет. Тогда возьмем какую-нибудь максимальную дизъюнктную систему из подмножеств меры $\left(\frac{1}{8}; \frac{1}{4}\right]$ (в ней не больше $2$ элементов), к ней добавим максимальную не пересекающуюся с уже взятыми множествами дизъюнктную систему из множеств меры $\left(\frac{1}{16}; \frac{1}{8}\right]$ и т.д. Всего мы взяли счетное семейство множеств, возьмем их объединение. Его мера не превосходит $\frac{3}{4}$, значит она не превосходит и $\frac{1}{4}$. В оставшемся подмножестве меры $\frac{3}{4}$ нет подмножеств меры $\left(\frac{1}{2^{n+1}}; \frac{1}{2^n}\right]$, а значит в нем вообще нет собственных подмножеств ненулевой меры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:27 
Аватара пользователя


31/08/17
714
g______d в сообщении #1270087 писал(а):
Пусть $(X,\mathcal B,\mu)$ -- пространство с вероятностной мерой $(\mu(X)=1)$, удовлетворяющее следующему свойству: для любого измеримого $B$, такого что $\mu(B)>0$, существует измеримое $A\subset B$, такое что $0<\mu(A)<\mu(B)$.

Доказать, что для любого $t\in [0,1]$ существует измеримое $E$, такое что $\mu(E)=t$

Контрпример $\mathcal B=\{X,\emptyset\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2015
Москва
pogulyat_vyshel в сообщении #1270230 писал(а):
Контрпример $\mathcal B=\{X,\emptyset\}$
Условие не выполнено для $B = X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:36 
Аватара пользователя


31/08/17
714
mihaild в сообщении #1270234 писал(а):
Условие не выполнено для $B = X$.

и какое для него существует $A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
pogulyat_vyshel в сообщении #1270235 писал(а):
и какое для него существует $A$?


Никакого, поэтому то, что между "пусть" и "доказать, что", для него не выполнено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:48 
Аватара пользователя


31/08/17
714
g______d в сообщении #1270237 писал(а):
Никакого, поэтому то, что между "пусть" и "доказать, что", для него не выполнено.

Любое высказывание о пустом множестве истинно. Так, что я думаю, что в формулировку следует добавить предположение о том, что найдется по крайней мере одно множество ненулевой меры, которое не совпадает с $X$

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2015
Москва
pogulyat_vyshel в сообщении #1270241 писал(а):
Любое высказывание о пустом множестве истинно.
О каком пустом множестве?
В условии: $\forall B \in \mathcal B \exists A \subset B: \ldots$. Т.к. $X \in \mathcal B$, то должно быть $\exsits A \subset X: \ldots$. Но нету. Значит, ваше пространству условию не удовлетворяет.

-- 29.11.2017, 22:52 --

Ну и кстати формулировка плохая. Правильно "любое высказывание о каждом элементе пустого множества истинно". О пустом множестве ложно, например, высказывание "оно непусто".

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение29.11.2017, 22:53 
Аватара пользователя


31/08/17
714
да, все верно, ошибка моя

-- 30.11.2017, 00:09 --

максимальный (по включению) элемент в множестве $\{b\in\mathcal B\mid \mu(b)\le t\}$ должен давать решение задачи

-- 30.11.2017, 00:19 --

кстати, а это верно, что если емеется множество $B\subset\mathcal B$ такое, что для любых $a,b\in B$ верно либо $a\subset b$ либо $b\subset a$, то тогда $\cup_{b\in B} b\in\mathcal B$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение30.11.2017, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
На всякий случай -- под спойлером (может считаться подсказкой).

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1270244 писал(а):
а это верно, что если емеется множество $B\subset\mathcal B$ такое, что для любых $a,b\in B$ верно либо $a\subset b$ либо $b\subset a$, то тогда $\cup_{b\in B} b\in\mathcal B$ ?


Интересный вопрос. Но Ваше решение можно модифицировать, заменив включение на включение с точностью до меры нуль, т. е. $a\subset b$ титтк $\mu(a/b)=0$. После этого, если есть цепь, то можно выбрать счётную под-цепь, на которой достигается супремум мер, счётное объединение которой будет верхней гранью, а дальше понятно как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение30.11.2017, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
2015
Москва
pogulyat_vyshel в сообщении #1270244 писал(а):
кстати, а это верно, что если емеется множество $B\subset\mathcal B$ такое, что для любых $a,b\in B$ верно либо $a\subset b$ либо $b\subset a$, то тогда $\cup_{b\in B} b\in\mathcal B$ ?
Нет. Возьмем все измеримые подмножества неизмеримого множества. Если бы у любой их цепи была измеримая мажоранта, то среди измеримых подмножеств множества Витали было бы максимальное по включению. Но т.к. оно отличается от всего множества Витали, можно к нему добавить еще одну точку...

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение30.11.2017, 05:37 
Заслуженный участник


22/11/10
1145
iou в сообщении #1270096 писал(а):
Так это ведь теорема Серпинского! Интересно было бы посмотреть на доказательство без трансфинитной индукции.

Да, вроде, типичный случай леммы Цорна. Разве нет?
Кстати, попутный вопрос. Для $t=0$, очевидно, можно выбрать пустое множество (меры 0). Но это "не интересно". Стоит доказать существование непустых множеств меры 0. Изолированные точки не обязаны быть измеримым множеством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Промежуточные значения меры
Сообщение30.11.2017, 08:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
sup в сообщении #1270274 писал(а):
Стоит доказать существование непустых множеств меры 0. Изолированные точки не обязаны быть измеримым множеством.


(Оффтоп)

Для любой точки существует измеримое множество минимальной меры, содержащее эту точку (найти инфимум мер, потом рассмотреть счётную последовательность множеств, на которых он реализуется, и взять пересечение).

Если хотя бы одно такое множество имеет меру нуль, то всё хорошо. Иначе возьмём любое такое множество $B$ положительной меры и применим к нему условие; мы разобьём его на два подмножества строго меньшей меры и получим противоречие с минимальностью (потому что точка, по которой это $B$ было построено, лежит в одном из подмножеств).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group