Промежуточные значения меры

[g______d]

Пусть $(X,\mathcal B,\mu)$ -- пространство с вероятностной мерой $(\mu(X)=1)$, удовлетворяющее следующему свойству: для любого измеримого $B$, такого что $\mu(B)>0$, существует измеримое $A\subset B$, такое что $0<\mu(A)<\mu(B)$.

Доказать, что для любого $t\in [0,1]$ существует измеримое $E$, такое что $\mu(E)=t$

[iou]

(Оффтоп)

Так это ведь теорема Серпинского! Интересно было бы посмотреть на доказательство без трансфинитной индукции.

[g______d]

Да, оказалось, что это довольно известная теорема, но без гугла было довольно интересно порешать.

iou в сообщении #1270096 писал(а):

Интересно было бы посмотреть на доказательство без трансфинитной индукции.

Ну я бы сказал, что оно скорее "без", но не могу придумать более содержательного комментария, чтобы не спойлерить.

[mihaild]

(Вроде счетной достаточно)

Достаточно, чтобы можно было покрыть всё пространство дизъюнктными множествами меры меньше $\varepsilon$. А для этого достаточно, чтобы существовало подмножество меры $\left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$ - тогда всё множество разбивается на две части размером не более $\frac{3}{4}$ каждая, они в свою очередь разбиваются на части размером не больше $\frac{9}{16}$ и т.д.
Пусть таких подмножеств нет. Тогда возьмем какую-нибудь максимальную дизъюнктную систему из подмножеств меры $\left(\frac{1}{8}; \frac{1}{4}\right]$ (в ней не больше $2$ элементов), к ней добавим максимальную не пересекающуюся с уже взятыми множествами дизъюнктную систему из множеств меры $\left(\frac{1}{16}; \frac{1}{8}\right]$ и т.д. Всего мы взяли счетное семейство множеств, возьмем их объединение. Его мера не превосходит $\frac{3}{4}$, значит она не превосходит и $\frac{1}{4}$. В оставшемся подмножестве меры $\frac{3}{4}$ нет подмножеств меры $\left(\frac{1}{2^{n+1}}; \frac{1}{2^n}\right]$, а значит в нем вообще нет собственных подмножеств ненулевой меры.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1270087 писал(а):

Пусть $(X,\mathcal B,\mu)$ -- пространство с вероятностной мерой $(\mu(X)=1)$, удовлетворяющее следующему свойству: для любого измеримого $B$, такого что $\mu(B)>0$, существует измеримое $A\subset B$, такое что $0<\mu(A)<\mu(B)$.

Доказать, что для любого $t\in [0,1]$ существует измеримое $E$, такое что $\mu(E)=t$

Контрпример $\mathcal B=\{X,\emptyset\}$

[mihaild]

pogulyat_vyshel в сообщении #1270230 писал(а):

Контрпример $\mathcal B=\{X,\emptyset\}$

Условие не выполнено для $B = X$.

[pogulyat_vyshel]

mihaild в сообщении #1270234 писал(а):

Условие не выполнено для $B = X$.

и какое для него существует $A$?

[g______d]

pogulyat_vyshel в сообщении #1270235 писал(а):

и какое для него существует $A$?

Никакого, поэтому то, что между "пусть" и "доказать, что", для него не выполнено.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1270237 писал(а):

Никакого, поэтому то, что между "пусть" и "доказать, что", для него не выполнено.

Любое высказывание о пустом множестве истинно. Так, что я думаю, что в формулировку следует добавить предположение о том, что найдется по крайней мере одно множество ненулевой меры, которое не совпадает с $X$

[mihaild]

pogulyat_vyshel в сообщении #1270241 писал(а):

Любое высказывание о пустом множестве истинно.

О каком пустом множестве?
В условии: $\forall B \in \mathcal B \exists A \subset B: \ldots$. Т.к. $X \in \mathcal B$, то должно быть $\exsits A \subset X: \ldots$. Но нету. Значит, ваше пространству условию не удовлетворяет.

-- 29.11.2017, 22:52 --

Ну и кстати формулировка плохая. Правильно "любое высказывание о каждом элементе пустого множества истинно". О пустом множестве ложно, например, высказывание "оно непусто".

[pogulyat_vyshel]

да, все верно, ошибка моя

-- 30.11.2017, 00:09 --

максимальный (по включению) элемент в множестве $\{b\in\mathcal B\mid \mu(b)\le t\}$ должен давать решение задачи

-- 30.11.2017, 00:19 --

кстати, а это верно, что если емеется множество $B\subset\mathcal B$ такое, что для любых $a,b\in B$ верно либо $a\subset b$ либо $b\subset a$, то тогда $\cup_{b\in B} b\in\mathcal B$ ?

[g______d]

На всякий случай -- под спойлером (может считаться подсказкой).

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1270244 писал(а):

а это верно, что если емеется множество $B\subset\mathcal B$ такое, что для любых $a,b\in B$ верно либо $a\subset b$ либо $b\subset a$, то тогда $\cup_{b\in B} b\in\mathcal B$ ?

Интересный вопрос. Но Ваше решение можно модифицировать, заменив включение на включение с точностью до меры нуль, т. е. $a\subset b$ титтк $\mu(a/b)=0$. После этого, если есть цепь, то можно выбрать счётную под-цепь, на которой достигается супремум мер, счётное объединение которой будет верхней гранью, а дальше понятно как.

[mihaild]

pogulyat_vyshel в сообщении #1270244 писал(а):

кстати, а это верно, что если емеется множество $B\subset\mathcal B$ такое, что для любых $a,b\in B$ верно либо $a\subset b$ либо $b\subset a$, то тогда $\cup_{b\in B} b\in\mathcal B$ ?

Нет. Возьмем все измеримые подмножества неизмеримого множества. Если бы у любой их цепи была измеримая мажоранта, то среди измеримых подмножеств множества Витали было бы максимальное по включению. Но т.к. оно отличается от всего множества Витали, можно к нему добавить еще одну точку...

[sup]

iou в сообщении #1270096 писал(а):

Так это ведь теорема Серпинского! Интересно было бы посмотреть на доказательство без трансфинитной индукции.

Да, вроде, типичный случай леммы Цорна. Разве нет?
Кстати, попутный вопрос. Для $t=0$, очевидно, можно выбрать пустое множество (меры 0). Но это "не интересно". Стоит доказать существование непустых множеств меры 0. Изолированные точки не обязаны быть измеримым множеством.

[g______d]

sup в сообщении #1270274 писал(а):

Стоит доказать существование непустых множеств меры 0. Изолированные точки не обязаны быть измеримым множеством.

(Оффтоп)

Для любой точки существует измеримое множество минимальной меры, содержащее эту точку (найти инфимум мер, потом рассмотреть счётную последовательность множеств, на которых он реализуется, и взять пересечение).

Если хотя бы одно такое множество имеет меру нуль, то всё хорошо. Иначе возьмём любое такое множество $B$ положительной меры и применим к нему условие; мы разобьём его на два подмножества строго меньшей меры и получим противоречие с минимальностью (потому что точка, по которой это $B$ было построено, лежит в одном из подмножеств).