Предел функции (Давидович)

[irod]

deep down в сообщении #1266309 писал(а):

На всякий случай уточню - Вы теперь можете записать "определение 3 $\Rightarrow$ определение 2" на языке $\varepsilon$ и $N$?

Пусть $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$ по определению 3.
Пусть $(x_n)$ - последовательность элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящаяся к $a$. Возьмем произвольный $\varepsilon>0$ и возьмем $\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $f(x)\in U_\varepsilon(b)$. По определению предела последовательности, начиная с некоторого номера, $x_n\in\dot{U}_\delta(a)$ и, следовательно, $f(x_n)\in U_\varepsilon(b)$.
Таким образом доказано, что для любого $\varepsilon>0$ почти все члены последовательности $(f(x_n))$ содержатся внутри $U_\varepsilon(b)$, что по определению означает $(f(x_n))\to b$ и выполнение определения 2.

-- 20.11.2017, 12:58 --

deep down в сообщении #1266309 писал(а):

Задачу 2 для закрепления техники решите повторно - на этот раз в терминах $\varepsilon$-$\delta$.

Мне определенно нравятся Ваши доп.вопросы!

irod в сообщении #1265989 писал(а):

Задача 2.
Доказать единственность предела.

Пусть $b\neq c$ -- пределы функции $f$ при $x\to a$ по определению 3. Возьмем произвольный $\varepsilon$ такой, что $0<\varepsilon<\frac{|b-c|}{2}$. Пусть $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$, где положительные $\delta_1,\delta_2$ такие, что $\forall x\in\dot{U}_{\delta_1}(a)$ выполнено $f(x)\in U_\varepsilon(b)$, и $\forall y\in\dot{U}_{\delta_2}(a)$ выполнено $f(y)\in U_\varepsilon(c)$. Тогда $\forall z\in\dot{U}_\delta(a)$ одновременно выполнено $f(z)\in U_\varepsilon(b)$ и $f(z)\in U_\varepsilon(c)$, что невозможно, т.к. $U_\varepsilon(b)$ и $U_\varepsilon(c)$ не пересекаются. Это противоречие доказывает единственность предела функции при стремлении аргумента к одному и тому же числу.

-- 20.11.2017, 13:07 --

И пока я домучиваю модуль в 7.б, выложу следующую готовую

Задача 8.
Привести пример функции на $\mathbb{R}$, которая в точке $a$:

а) не имеет предела ни слева, ни справа.
Пример: $\frac{1}{x-a}$ (см. график -- гиперболу $\frac{1}{x}$, сдвинутую на $a$ по $Ox$).

б) имеет предел слева, но не имеет предела справа.
Пример: $ f= \begin{cases} \frac{1}{x-a} & \mbox{при } x>a, \\ 1 & \mbox{при } x\leq a \end{cases} $

в) имеет разные пределы слева и справа.
Пример: $ f= \begin{cases} 1 & \mbox{при } x>a, \\ 0 & \mbox{при } x\leq a \end{cases} $

[irod]

Ну и следующую сразу, она простая.

Определение 6.
Функция $f$ называется бесконечно малой в точке $a$, если предел этой функции в точке $a$ равен нулю.

Задача 9.
Доказать, что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=b$ тогда и только тогда, когда функция $f$ представима в виде $f(x)=g(x)+b$, где функция $g$ - бесконечно малая в точке $x_0$.

Доказательство в обе стороны следует из эквивалентности неравенств $|f(x)-b|<\varepsilon\Leftrightarrow |g(x)|<\varepsilon$, или другими словами, $f(x)\in U_\varepsilon(b)\Leftrightarrow g(x)\in U_\varepsilon(0)$ для произвольного $\varepsilon>0$, где $g(x)=f(x)-b$. Подставив это в определение 3, получим $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=b\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$.

[deep down]

Всё верно. Для самоконтроля можете ещё раз прочитать условия задач и убедиться, что сразу возникает чёткое понимание, как её решать.
И в чём затруднение с модулем? Там достаточно применить несколько равенств вроде $|x-a|=|a-x|$.

[irod]

deep down в сообщении #1267441 писал(а):

Там достаточно применить несколько равенств вроде $|x-a|=|a-x|$.

Вот с этой подсказкой получилось, до этого я вообще не в ту степь ушел (пытался на интервалы разложить).

Задача 7.б.
Доказать, что $\lim\limits_{x\to 3}x^2=9$.

Доказательство.
По свойствам модуля, $|x-3|=|x+3|$. Следовательно,

$$ |x-3|<\delta\Leftrightarrow|x-3||x+3|=|x^2-9|<\delta^2, $$

где $\delta>0$ -- произвольное число.
Таким образом, $\forall\varepsilon>0$ берем $\delta=\sqrt{\varepsilon}$, тогда $\forall x\in\dot{U}_\delta(3)$ выполнено $x^2\in U_\varepsilon(9)$.

-- 21.11.2017, 16:06 --

Задача 10.
Пусть области определения функций $f$ и $g$ совпадают, $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$, $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=b$. Тогда
а) $\forall c\in\mathbb{R}\ \lim\limits_{x\to x_0}cf(x)=ca$;
б) $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=a\pm b$;
в) $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)g(x))=ab$;
г) если $b\neq 0$, то $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}$.

Доказательство всех пунктов следует из соответствующих утверждений для предела последовательности (задача 3 листка 12), примененных к последовательностям значений $f$ и $g$ из определения 2 (в пункте а) рассматриваем последовательность $(cf(x_n))$ как $(c_n\cdot f(x_n))$, где $c_n=c$ для всех $n$, и применяем пункт б) задачи 3 листка 12).

[kotenok gav]

irod в сообщении #1267578 писал(а):

По свойствам модуля, $|x-3|=|x+3|$.

Что????

[irod]

Задача 11.
Найти
а) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+3x^4}{3x^2+x^4}$

Решение.
Т.к. по определению предела функции $x\neq 0$, на него можно сократить. Сократим числитель и знаменатель на $x^2$ и применим задачу 11:

$$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2+3x^4}{3x^2+x^4}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1+3x^2}{3+x^2}=\frac{1}{3}. $$

б) $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+3x^4}{3x^2+x^4}$

Решение.
Из любой $(x_n)\to\infty$ можно выбросить нулевые члены (их может быть лишь конечное число), стремление к $\infty$ при этом сохранится. Значит на $x$ снова можно сократить. Сократим числитель и знаменатель на $x^4$ и применим задачу 11:

$$ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+3x^4}{3x^2+x^4}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^2}+3}{\frac{3}{x^2}+1}=3. $$

-- 21.11.2017, 16:10 --

kotenok gav в сообщении #1267582 писал(а):

irod в сообщении #1267578 писал(а):

По свойствам модуля, $|x-3|=|x+3|$.

Что????

Ой Кажется фигня получилась. Исправлю.

-- 21.11.2017, 16:18 --

Задача 12.
Пусть функции $f,g$ и $h$ определены на множестве $M$, для любого $x\in M$ имеют место неравенства $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$, и $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to a}h(x)=b$. Тогда $\lim\limits_{x\to a}g(x)=b$.

Доказательство следует из соответствующего утверждения для предела последовательности (принцип двух милиционеров, задача 5 листка 12), примененного к последовательностям значений $f,g,h$ из определения 2.

[irod]

irod в сообщении #1267578 писал(а):

Задача 7.б.
Доказать, что $\lim\limits_{x\to 3}x^2=9$.

Доказательство.

Для установления зависимости между $\varepsilon$ и $\delta$ сначала зададим $\delta>0$ такое, что $|x-3|<\delta$, и найдем $\varepsilon(\delta)$ такой, что $|x^2-9|<\varepsilon$.
Используем следующие свойства модуля (взяты из Википедии):

$$ |ab|=|a||b| \ \mbox{(1)}, $$

$$ |a+b|\leq|a|+|b| \ \mbox{(неравенство треугольника) (2).} $$

По свойству (2),

$$ |x|=|x-3+3|\leq|x-3|+3\leq\delta+3, $$

и значит

$$ |x+3|\leq|x|+3\leq\delta+6. $$

Далее, по свойству (1),

$$ |x^2-9|=|x-3||x+3|\leq\delta(\delta+6). $$

Таким образом, для произвольного положительного $\varepsilon<1$ берем положительное $\delta<\varepsilon/12$, тогда $\delta^2+6\delta<\varepsilon$, что означает что $\forall x\in\dot{U}_\delta(3)$ выполнено $x^2\in U_\varepsilon(9)$.

-- 23.11.2017, 16:52 --

Перед задачей 13 хочу дополнить свое решение задачи 3, дав определение предела слева (справа) через предел последовательности (в стиле определения 2).
Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой множества $M\cap\{x\mid x<a\}$ ($M\cap\{x\mid x>a\}$). Число $b$ называется пределом слева (справа) функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $(x_n)$ элементов множества $M\cap\{x\mid x<a\}$ ($M\cap\{x\mid x>a\}$), сходящейся к $a$, последовательность $(f(x_n))$ сходится к $b$.

Задача 13.
Функция, монотонная на интервале $]a,b[$, имеет предел как слева, так и справа в каждой точке этого интервала.

Доказательство.
Пусть функция $f$ монотонна на $]a,b[$.
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$.
Из любой последовательности $(x_n)\to x_0$ из чисел интервала $]a,x_0[$ можно выделить монотонно возрастающую подпоследовательность $(x_k)$ (задача 7 листка 12), которая также будет сходиться к $x_0$ (задача 10 листка 11). Последовательность $(f(x_k))$ является монотонной, т.к. $f$ и $(x_k)$ монотонны. $(f(x_k))$ также является ограниченной, т.к. она ограничена числами $f(x_0)$ и $f(x)$, где $x\in]a,x_0[$, сверху и снизу (или наоборот - в зависимости от вида монотонности $f$). Следовательно, $(f(x_k))$ сходится (задача 9 листка 12). Аналогично, для любой монотонно убывающей подпоследовательности $(y_k)$ последовательности $(y_n)\to x_0$ из чисел интервала $]x_0,b[$ последовательность $(f(y_k))$ является монотонной (если $f$ монотонно неубывающая, то $(f(y_k))$ монотонно невозрастающая, и наоборот) и ограниченной, и следовательно, сходится.

-- 23.11.2017, 16:54 --

Задача 14.
Дать определение функции, стремящейся к $\infty$ при $x$, стремящемся к $a$.

Ответ.

Пусть функция $f$ определена на множестве $M$ и точка $a$ является предельной точкой этого множества.
Определение через предел последовательности (в стиле определения 2). $f$ стремится к $\infty$ в точке $a$, если для любой последовательности $(x_n)$ элементов множества $M\setminus \{a\}$, сходящейся к $a$, последовательность $(f(x_n))$ стремится к $\infty$.
Определение на языке $\varepsilon$-$\delta$: $f$ стремится к $\infty$ в точке $a$, если $\forall C\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(a)\cap M$ выполняется условие $|f(x)|>C$.
Обозначение: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ (или $f(x)\to \infty$ при $x\to a$).

-- 23.11.2017, 16:54 --

Задача 15.
Пусть функция $f$ не обращается в ноль в некоторой окрестности точки $a$. Доказать, что $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ тогда и только тогда, когда $\lim\limits_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=0$.

Доказательство следует из аналогичного утверждения для предела последовательности (задача 4 листка 12), примененного к последовательности значений $f$ из определения 2.

[ewert]

irod в сообщении #1268374 писал(а):

Функция, монотонная на интервале $]a,b[$, имеет предел как слева, так и справа в каждой точке этого интервала.

Доказательство.
Пусть функция $f$ монотонна на $]a,b[$.
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$.
Из любой последовательности $(x_n)\to x_0$

В данном случае отсылка к Гейне излишня. Доказывайте в лоб -- что $\sup\limits_{x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ и что $\inf\limits_{x>x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)$. В лоб, исходя непосредственно из определений точных границ и односторонних пределов, с учётом монотонности. Это лучше потому, что даёт полезную дополнительную информацию и, кроме того, подчёркивает возможную недостижимость каждого из предельных значений.

[deep down]

ewert говорит правильно. Подпоследовательности нужны далеко не всегда. Сначала старайтестесь решить без них.
И в примерах сложнее, чем 7.6 можно заранее выбирать $\delta<1$, тогда $|x+3|<7$. И оценку можно сделать раньше, чтобы тащить её через меньшее количество формул.
Ещё наблюдение с "качественной" точки зрения. Если существует $\lim_{x\to 0}f(x)$, то $f$ ограничена в некоторой окрестности нуля (докажите это). Теперь смотрим на сомножители: $x-3$ бесконечно малая, $x+3$ ограничена. Значит, произведение тоже бесконечно мало (сформулируйте и докажите это утверждение в общем случае).

[irod]

ewert в сообщении #1268409 писал(а):

Доказывайте в лоб -- что $\sup\limits_{x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ и что $\inf\limits_{x>x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)$.

Простая и красивая идея, спасибо!

irod в сообщении #1268374 писал(а):

Задача 13.
Функция, монотонная на интервале $]a,b[$, имеет предел как слева, так и справа в каждой точке этого интервала.

Пусть функция $f$ монотонно не убывает на $]a,b[$.
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$ и предположим, что $\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ существует и равен $c$. Из определения (3) предела следует, что $\forall\varepsilon>0\ \exists x\in]a,x_0[$ такое, что $c-\varepsilon<f(x)$. Из монотонного неубывания $f$ на $]a,b[$ следует, что $f(x)\leq c$ для любого $x\in ]a,x_0[$. Таким образом, $c$ является наименьшей верхней гранью множества $\{f(x)\mid a<x<x_0\}$, т.е. $\sup\limits_{a<x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$.

Аналогично, $\inf\limits_{b>x>x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)$.

$\sup\limits_{a<x<x_0}f(x)$ и $\inf\limits_{b>x>x_0}f(x)$ существуют согласно аксиоме о точной верхней грани. Следовательно, $\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to x_0+0}f(x)$ существуют.

[deep down]

Существование предела Вам надо доказать. Предполагать имеет смысл двух случаях - в доказательствах от противного, либо когда мы хотим догадаться, чему же будет равен предел, если он существует (что Вы, собственно, и проделали).
То есть, из выкладок следует, что если пределы сущствуют, то они будут равны соответствующим $\sup$ и $\inf$. Теперь докажите по определению $\varepsilon-\delta$. Выкладки будут практически те же самые.

[irod]

deep down
Тогда меняю этот кусок:

irod в сообщении #1269883 писал(а):

Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$ и предположим, что $\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$ существует и равен $c$. Из определения (3) предела следует, что $\forall\varepsilon>0\ \exists x\in]a,x_0[$ такое, что $c-\varepsilon<f(x)$. Из монотонного неубывания $f$ на $]a,b[$ следует, что $f(x)\leq c$ для любого $x\in ]a,x_0[$. Таким образом, $c$ является наименьшей верхней гранью множества $\{f(x)\mid a<x<x_0\}$, т.е. $\sup\limits_{a<x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$.

на следующий.
Возьмем произвольный $x_0\in]a,b[$. Из монотонного неубывания $f$ на $]a,b[$ следует, что множество $\{f(x)\mid a<x<x_0\}$ ограничено, и его супремум $c$ достигается с ростом $x$, т.е. $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ такое, что $\forall x\in]x_0-\delta,x_0[$ выполнено $f(x)\in U_\varepsilon(c)$. Это по определению 3 означает, что $\sup\limits_{a<x<x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-0}f(x)$.

[irod]

deep down в сообщении #1268483 писал(а):

Если существует $\lim_{x\to 0}f(x)$, то $f$ ограничена в некоторой окрестности нуля (докажите это).

Формально: надо доказать, что множество $\{f(x)\mid x\in U_\delta(0)\}$ ограничено для некоторого $\delta>0$.
Ограниченность множества можно рассматривать как принадлежность всех элементов этого множества некоторой окрестности некоторой точки.
$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=a$ по определению означает, что $\forall x\in\dot{U}_\delta(0)$ выполнено $f(x)\in U_\varepsilon(a)$ для любого $\varepsilon>0$ и соответствующего $\delta>0$. Это и означает ограниченность множества соответствующих значений $f$.

-- 28.11.2017, 16:35 --

deep down в сообщении #1268483 писал(а):

Теперь смотрим на сомножители: $x-3$ бесконечно малая, $x+3$ ограничена. Значит, произведение тоже бесконечно мало (сформулируйте и докажите это утверждение в общем случае).

Утверждение: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность бесконечно мало.
Доказательство.
Пусть $(x_n)$ ограничена числом $c$, $(\alpha_n)$ бесконечно мала.
Тогда $-c\cdot\alpha_n\leq x_n\cdot\alpha_n\leq c\cdot\alpha_n$. Левая и правая части стремятся к нулю (задача 3.б листка 12), значит средняя часть также стремится нулю (принцип двух милиционеров).

-- 28.11.2017, 16:56 --

Не, я прошу прощения, на самом деле утверждение должно быть такое: если функция $f$ бесконечно мала при $x\to a$, а функция $g$ ограничена, то функция $fg$ бесконечно мала при $x\to a$.
Для доказательства можно использовать задачу 10.а этого листка.

[deep down]

Теперь хорошо. Остались помарки и придирки.

irod в сообщении #1269908 писал(а):

его супремум $c$ достигается с ростом $x$, т.е.

Обычно говорят "достигается", когда у функции есть максимум и существует $x_M: f(x_M) = \sup f$. Хотя понятно, что Вы имели в виду. Вместо $\delta$ в данном случае уместно было бы явно написать, что существует такой $x_\varepsilon<x_0$, что $c-\varepsilon<f(x_\varepsilon)\le c$.

irod в сообщении #1269929 писал(а):

для любого $\varepsilon>0$ и соответствующего $\delta>0$. Это и означает ограниченность множества соответствующих значений $f$.

Тут тоже лучше явно сказать: возьзмём какое-нибудь $\varepsilon$, тогда найдётся интервал ... (дальше как у Вас).

irod в сообщении #1269929 писал(а):

Для доказательства можно использовать задачу 10.а этого листка.

10.а недостаточно - там функция строго констатная. Лучше докажите напрямую.
И ещё совет - в выкладках используйте определение 3. Последовательнось обычно появляется в доказательствах от противного (когда предполагаем, что предела нет и найдётся соответствующая последовательность). И при $\varepsilon-\delta$ лучше видно поведение функции.

[svv]

(Оффтоп)

irod в сообщении #1269929 писал(а):

принцип двух милиционеров

Хорошая картинка есть в книге Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике: