Предположения о виде уравнений гравитационного поля (ОТО)

[misha.physics]

Здравствуйте.
Перейду сразу к сути, без долгого вступления. Вопрос связан с изложением ОТО в книге Вайнберга.

Когда мы рассматривали движение нерелятивистской частицы (с малой скоростью) в слабом, статичном грав. поле, мы получили:
$g_{00}=-(1+2\varphi)$. (1)
$\varphi$ - ньютоновский потенциал.

Теперь рассматриваем слабое, статичное грав. поле, создаваемое нерелятивистским телом (как я понял, речь снова о малой скорости, но это тело и то тело, о котором говорилось вначале это "разные" тела. Первое выступает в роли пробной частицы, его грав. поле мы не изучаем, а второе тело уже рассматривается как источник грав. поля).
Здесь мы используем равенство (1), и получаем:
$\boldsymbol{\nabla}^2g_{00}=-8\pi GT_{00}$. (2)
Вайнберг говорит, что уравнение (2) справедливо только для слабых, статичных полей, создаваемых нерелятивистским веществом.
Вопрос 1: Так как мы использовали равность (1), то в уравнении (2) все так же предполагается, что частицы в этом грав. поле должны двигатся с нерелятивистскими скоростями? Т.е. если "пробные" частицы будут релятивистскими, то уравнение (2) будет неправильно? Наверное потому что эти релятивистские частицы будут вносить существенный вклад в поле, в котором они движутся, да?



Далее, Вайнберг говорит, что уравнение слабых полей для распределения энергии и импульса общего вида $T_{\alpha\beta}$:
$G_{\alpha\beta}=-8\pi GT_{\alpha\beta}$ (3).
Вопрос 2: В каких условиях справедливо это уравнение?
Сказано что поле должно быть слабое. А как насчёт статичности; нерелятивистских частиц, движущихся в грав. поле; нерелятивистских частиц, создающих это поле? Здесь мне что-должно сказать "распределения энергии и импульса общего вида $T_{\alpha\beta}$", но я еще недостаточно познакомился с тензором энергии-импульса.



Дальше говорится, что из принципа эквивалентности следует уравнение грав. поля произвольной напряженности (как я понял, вообще никаких условий не накладывается, ни статичность, ни слабость, ни "нерелятивизм" частиц):
$G_{\mu\nu}=-8\pi GT_{\mu\nu}$. (4)
Вопрос 3: Непонятно как здесь используется принцип эквивалентности, но ответ на этот вопрос я наверное получу, если пойму второй вопрос, т.е. в каких условиях справедливо уравнение (3).

-- 27 ноя 2017, 21:22 --

Или, почему мы переходим от (2) к (3), а потом от (3) к (4) вместо того, чтобы сразу перейти от (2) к (4)?

-- 27 ноя 2017, 21:31 --

misha.physics в сообщении #1269736 писал(а):

Далее, Вайнберг говорит, что уравнение слабых полей для распределения энергии и импульса общего вида $T_{\alpha\beta}$:
$G_{\alpha\beta}=-8\pi GT_{\alpha\beta}$ (3).

Т.е. почему берется именно условие слабости поля?

[Sergey Vergeles]

Ответ на Вопрос 1. Ньютоновская механика и уравнения гравитационного поля написаны только для нерелятивистского предела. Это означает как то, что гравитационные поля должны быть слабыми (мало отклонение метрики от Минковского), так и то, что движение пробных частиц должно происходить с нерелятивистскими скоростями.

Это ограничение возникает как формально (Ньютон работал только в выше обозначенном пределе), так и по сути: если частица релятивистская, то для написания её уравнений движения недостаточно знать только $g_{00}$-компоненту метрики.

-- 28.11.2017, 13:03 --

Ответ на Вопросы №2-3: (3) это тензорное равенство, но оно по смыслу записано в системе координат, где метрика слабо отличается от единичной и связность в начале координат равна нулю ($\alpha\beta$-индексы). В этой системе координат, по крайней мере в некоторой окрестности её начала, гравитационные поля слабые.

Далее, Вайнберг говорит, что слабое гравитационное поле в $\alpha\beta$-системе вполне могло оказаться таковым в результате перехода в свободнопадающую систему координат. Согласно принципу эквивалентности в этой свободнопадающей системе внешнее, вполне может быть и не слабое гравитационное поле не чувствуется. То есть исключено из уравнений движения. Теперь же Вайнберг говорит, что мы в праве перейти в любую другую систему координат, в которой и метрика уже сильно не метрика Минковского, и коэффициенты связности уже не малы. Уравнение (4) по форме не отличается от (3), но теперь не ограничено в области применения.

[misha.physics]

Sergey Vergeles, спасибо за ответ.
Значит уравнение
$\boldsymbol{\nabla}^2g_{00}=-8\pi GT_{00}$
это уравнение слабого, статичного грав. поля, создаваемого нерелятивистским веществом, и справедливо для движущихся в этом грав. поле нерелятивистских частиц.

Да, наверное, самый сложный из этого Вопрос 2. Непонятно почему говорится о окрестности начала координат в системе координат с индексами $\alpha$, $\beta$.

Цитата:

Далее, Вайнберг говорит, что слабое гравитационное поле в $\alpha\beta$-системе вполне могло оказаться таковым в результате перехода в свободнопадающую систему координат.

Значит Вайнберг именно это и имеет ввиду, что система координат с индексами $\alpha$, $\beta$ это локальная инерциальная система координат?
Но в такой системе грав. поле вообще исключается и не приходится говорить о слабосте поля. Или мы вводим эту систему с индексами $\alpha$, $\beta$ во всем пространстве-времени?

Уравнение $G_{\alpha\beta}=-8\pi GT_{\alpha\beta}$ по идеи обобщает уравнение $\boldsymbol{\nabla}^2g_{00}=-8\pi GT_{00}$. Обобщает тем что берется тензор общего вида T_{\alpha\beta}. Но все-таки это не тот же тензор что T_{\mu\nu} в смысле ограничений?

Самое большое непонимание у меня здесь именно с $G_{\alpha\beta}=-8\pi GT_{\alpha\beta}$. Понятно что это переходной этап от (2) к (4). Получается, что мы снимаем ограничения (делаем обобщения) в два этапа и нужно понять, какие ограничения мы снимаем при написании (3).

Мне представляется более (или менее) понятным от уравнения (2) перейти к (4) убрав сразу все ограничения, ввиду того что конечное уравнение записано в тензорном виде. Значит оно будет общековариантным. И оно будет переходить в (2) в ньютоновском приближении.


Я здесь скорее всего что-то неправильно понял. Если у кого-то есть возможность и желание, поправьте меня пожалуйста.

[misha.physics]

Ещё несколько моментов:

1) При рассмотрении слабых грав. полей, $g_{\alpha\beta}\approx \eta_{\alpha\beta}$ и говорится, что скалярная кривизна:
$R\approx R_{kk}-R_{00}=\frac{3}{2}R-R_{00}$. Не то чтобы я хочу получить это равенство, просто хочу понять идею (в самых общих качественных чертах) как оно получается. Мои рассуждения такови: $R$ это свертка $R_{\mu\nu}$, он в свою очередь свертка $R^\lambda_{\mu \sigma \nu}$. Последний в свою очередь выражается через 1-е и 2-е производные от метрики. Так как метрика "слабая", то мы это как-то используем. Может в ряд расскладываем... В этом есть что-то правильное?

2) Полученные уравнения грав. поля:
$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=-8\pi GT_{\mu\nu}$.
С чем связан "минус" в правой части? В другой литературе на его месте стоит плюс. Что он отражает? Какое-то соглашение? Сигнатуру, систему единиц, или что-то другое? Просто меня немного удивляет, что такое "физическое" уравнение, записанное в тензорном виде имеет разную форму в разных учебниках.

3) Говорится, что в пустом пространстве (размерности больше 4) могут существовать истинные грав. поля. $R_{\mu\nu}=0$, а $R_{\lambda\mu\sigma\nu}\ne 0$.
Что это означает? Что нет материи, а грав. поле есть? А что его создает?

[Someone]

misha.physics в сообщении #1270500 писал(а):

Полученные уравнения грав. поля:
$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=-8\pi GT_{\mu\nu}$.
С чем связан "минус" в правой части? В другой литературе на его месте стоит плюс. Что он отражает?

Определённые соглашения о знаках. В разной литературе эти соглашения могут различаться. Можете посмотреть в МТУ, том 1, на внутренней стороне обложки. Там большой список литературы с указанием соответствующих соглашений.

[Gickle]

misha.physics в сообщении #1270500 писал(а):

3) Говорится, что в пустом пространстве (размерности больше 4) могут существовать истинные грав. поля. $R_{\mu\nu}=0$, а $R_{\lambda\mu\sigma\nu}\ne 0$.
Что это означает? Что нет материи, а грав. поле есть? А что его создает?

Точно именно "больше 4"? Не уверен, что в духе этого форума давать прямой ответ, поэтому я просто укажу, в каком направлении двигаться. Почитайте про то, что такое тензор Вейля и как это всё связано с тензором Римана. Потом посчитайте, сколько независимых компонент имеют эти тензоры для $d = 2, 3, 4$, и сделайте вывод относительно гравитации в вакууме.

[misha.physics]

Someone, спасибо.
Gickle,

Цитата:

Точно именно "больше 4"?

Простите, ошибся. Больше или равно 4.
Спасибо за указанный вектор движения :) Я согласен, что давать прямой ответ на такой вопрос не лучшая идея. Мне будет интереснее самому об этом почитать и узнать. Ещё раз спасибо.