2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предположения о виде уравнений гравитационного поля (ОТО)
Сообщение27.11.2017, 22:13 
Аватара пользователя


17/03/17
128
Львов
Здравствуйте.
Перейду сразу к сути, без долгого вступления. Вопрос связан с изложением ОТО в книге Вайнберга.

Когда мы рассматривали движение нерелятивистской частицы (с малой скоростью) в слабом, статичном грав. поле, мы получили:
$g_{00}=-(1+2\varphi)$. (1)
$\varphi$ - ньютоновский потенциал.

Теперь рассматриваем слабое, статичное грав. поле, создаваемое нерелятивистским телом (как я понял, речь снова о малой скорости, но это тело и то тело, о котором говорилось вначале это "разные" тела. Первое выступает в роли пробной частицы, его грав. поле мы не изучаем, а второе тело уже рассматривается как источник грав. поля).
Здесь мы используем равенство (1), и получаем:
$\boldsymbol{\nabla}^2g_{00}=-8\pi GT_{00}$. (2)
Вайнберг говорит, что уравнение (2) справедливо только для слабых, статичных полей, создаваемых нерелятивистским веществом.
Вопрос 1: Так как мы использовали равность (1), то в уравнении (2) все так же предполагается, что частицы в этом грав. поле должны двигатся с нерелятивистскими скоростями? Т.е. если "пробные" частицы будут релятивистскими, то уравнение (2) будет неправильно? Наверное потому что эти релятивистские частицы будут вносить существенный вклад в поле, в котором они движутся, да?



Далее, Вайнберг говорит, что уравнение слабых полей для распределения энергии и импульса общего вида $T_{\alpha\beta}$:
$G_{\alpha\beta}=-8\pi GT_{\alpha\beta}$ (3).
Вопрос 2: В каких условиях справедливо это уравнение?
Сказано что поле должно быть слабое. А как насчёт статичности; нерелятивистских частиц, движущихся в грав. поле; нерелятивистских частиц, создающих это поле? Здесь мне что-должно сказать "распределения энергии и импульса общего вида $T_{\alpha\beta}$", но я еще недостаточно познакомился с тензором энергии-импульса.



Дальше говорится, что из принципа эквивалентности следует уравнение грав. поля произвольной напряженности (как я понял, вообще никаких условий не накладывается, ни статичность, ни слабость, ни "нерелятивизм" частиц):
$G_{\mu\nu}=-8\pi GT_{\mu\nu}$. (4)
Вопрос 3: Непонятно как здесь используется принцип эквивалентности, но ответ на этот вопрос я наверное получу, если пойму второй вопрос, т.е. в каких условиях справедливо уравнение (3).

-- 27 ноя 2017, 21:22 --

Или, почему мы переходим от (2) к (3), а потом от (3) к (4) вместо того, чтобы сразу перейти от (2) к (4)?

-- 27 ноя 2017, 21:31 --

misha.physics в сообщении #1269736 писал(а):
Далее, Вайнберг говорит, что уравнение слабых полей для распределения энергии и импульса общего вида $T_{\alpha\beta}$:
$G_{\alpha\beta}=-8\pi GT_{\alpha\beta}$ (3).

Т.е. почему берется именно условие слабости поля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предположения о виде уравнений гравитационного поля (ОТО)
Сообщение28.11.2017, 12:27 


16/08/15
15
Ответ на Вопрос 1. Ньютоновская механика и уравнения гравитационного поля написаны только для нерелятивистского предела. Это означает как то, что гравитационные поля должны быть слабыми (мало отклонение метрики от Минковского), так и то, что движение пробных частиц должно происходить с нерелятивистскими скоростями.

Это ограничение возникает как формально (Ньютон работал только в выше обозначенном пределе), так и по сути: если частица релятивистская, то для написания её уравнений движения недостаточно знать только $g_{00}$-компоненту метрики.

-- 28.11.2017, 13:03 --

Ответ на Вопросы №2-3: (3) это тензорное равенство, но оно по смыслу записано в системе координат, где метрика слабо отличается от единичной и связность в начале координат равна нулю ($\alpha\beta$-индексы). В этой системе координат, по крайней мере в некоторой окрестности её начала, гравитационные поля слабые.

Далее, Вайнберг говорит, что слабое гравитационное поле в $\alpha\beta$-системе вполне могло оказаться таковым в результате перехода в свободнопадающую систему координат. Согласно принципу эквивалентности в этой свободнопадающей системе внешнее, вполне может быть и не слабое гравитационное поле не чувствуется. То есть исключено из уравнений движения. Теперь же Вайнберг говорит, что мы в праве перейти в любую другую систему координат, в которой и метрика уже сильно не метрика Минковского, и коэффициенты связности уже не малы. Уравнение (4) по форме не отличается от (3), но теперь не ограничено в области применения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предположения о виде уравнений гравитационного поля (ОТО)
Сообщение28.11.2017, 16:01 
Аватара пользователя


17/03/17
128
Львов
Sergey Vergeles, спасибо за ответ.
Значит уравнение
$\boldsymbol{\nabla}^2g_{00}=-8\pi GT_{00}$
это уравнение слабого, статичного грав. поля, создаваемого нерелятивистским веществом, и справедливо для движущихся в этом грав. поле нерелятивистских частиц.

Да, наверное, самый сложный из этого Вопрос 2. Непонятно почему говорится о окрестности начала координат в системе координат с индексами $\alpha$, $\beta$.
Цитата:
Далее, Вайнберг говорит, что слабое гравитационное поле в $\alpha\beta$-системе вполне могло оказаться таковым в результате перехода в свободнопадающую систему координат.

Значит Вайнберг именно это и имеет ввиду, что система координат с индексами $\alpha$, $\beta$ это локальная инерциальная система координат?
Но в такой системе грав. поле вообще исключается и не приходится говорить о слабосте поля. Или мы вводим эту систему с индексами $\alpha$, $\beta$ во всем пространстве-времени?

Уравнение $G_{\alpha\beta}=-8\pi GT_{\alpha\beta}$ по идеи обобщает уравнение $\boldsymbol{\nabla}^2g_{00}=-8\pi GT_{00}$. Обобщает тем что берется тензор общего вида T_{\alpha\beta}. Но все-таки это не тот же тензор что T_{\mu\nu} в смысле ограничений?

Самое большое непонимание у меня здесь именно с $G_{\alpha\beta}=-8\pi GT_{\alpha\beta}$. Понятно что это переходной этап от (2) к (4). Получается, что мы снимаем ограничения (делаем обобщения) в два этапа и нужно понять, какие ограничения мы снимаем при написании (3).

Мне представляется более (или менее) понятным от уравнения (2) перейти к (4) убрав сразу все ограничения, ввиду того что конечное уравнение записано в тензорном виде. Значит оно будет общековариантным. И оно будет переходить в (2) в ньютоновском приближении.


Я здесь скорее всего что-то неправильно понял. Если у кого-то есть возможность и желание, поправьте меня пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предположения о виде уравнений гравитационного поля (ОТО)
Сообщение30.11.2017, 20:14 
Аватара пользователя


17/03/17
128
Львов
Ещё несколько моментов:

1) При рассмотрении слабых грав. полей, $g_{\alpha\beta}\approx \eta_{\alpha\beta}$ и говорится, что скалярная кривизна:
$R\approx R_{kk}-R_{00}=\frac{3}{2}R-R_{00}$. Не то чтобы я хочу получить это равенство, просто хочу понять идею (в самых общих качественных чертах) как оно получается. Мои рассуждения такови: $R$ это свертка $R_{\mu\nu}$, он в свою очередь свертка $R^\lambda_{\mu \sigma \nu}$. Последний в свою очередь выражается через 1-е и 2-е производные от метрики. Так как метрика "слабая", то мы это как-то используем. Может в ряд расскладываем... В этом есть что-то правильное?

2) Полученные уравнения грав. поля:
$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=-8\pi GT_{\mu\nu}$.
С чем связан "минус" в правой части? В другой литературе на его месте стоит плюс. Что он отражает? Какое-то соглашение? Сигнатуру, систему единиц, или что-то другое? Просто меня немного удивляет, что такое "физическое" уравнение, записанное в тензорном виде имеет разную форму в разных учебниках.

3) Говорится, что в пустом пространстве (размерности больше 4) могут существовать истинные грав. поля. $R_{\mu\nu}=0$, а $R_{\lambda\mu\sigma\nu}\ne 0$.
Что это означает? Что нет материи, а грав. поле есть? А что его создает? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предположения о виде уравнений гравитационного поля (ОТО)
Сообщение30.11.2017, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15153
Новомосковск
misha.physics в сообщении #1270500 писал(а):
Полученные уравнения грав. поля:
$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=-8\pi GT_{\mu\nu}$.
С чем связан "минус" в правой части? В другой литературе на его месте стоит плюс. Что он отражает?
Определённые соглашения о знаках. В разной литературе эти соглашения могут различаться. Можете посмотреть в МТУ, том 1, на внутренней стороне обложки. Там большой список литературы с указанием соответствующих соглашений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предположения о виде уравнений гравитационного поля (ОТО)
Сообщение01.12.2017, 01:24 


29/12/14
199
misha.physics в сообщении #1270500 писал(а):
3) Говорится, что в пустом пространстве (размерности больше 4) могут существовать истинные грав. поля. $R_{\mu\nu}=0$, а $R_{\lambda\mu\sigma\nu}\ne 0$.
Что это означает? Что нет материи, а грав. поле есть? А что его создает? :oops:

Точно именно "больше 4"? Не уверен, что в духе этого форума давать прямой ответ, поэтому я просто укажу, в каком направлении двигаться. Почитайте про то, что такое тензор Вейля и как это всё связано с тензором Римана. Потом посчитайте, сколько независимых компонент имеют эти тензоры для $d = 2, 3, 4$, и сделайте вывод относительно гравитации в вакууме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предположения о виде уравнений гравитационного поля (ОТО)
Сообщение01.12.2017, 01:35 
Аватара пользователя


17/03/17
128
Львов
Someone, спасибо.
Gickle,
Цитата:
Точно именно "больше 4"?

Простите, ошибся. Больше или равно 4.
Спасибо за указанный вектор движения :) Я согласен, что давать прямой ответ на такой вопрос не лучшая идея. Мне будет интереснее самому об этом почитать и узнать. Ещё раз спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group