Теоремы о разности квадратов двух целых чисел

[kotenok gav]

Svetlow в сообщении #1268905 писал(а):

А также не "работает", если числа $n, m $ имеют общие делители.

Прекрасно работает.

[Svetlow]

Xaositect в сообщении #1268787 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268774 писал(а):

Вы взяли число $15^2, рассчитали по моей формуле для него пару целых чисел $39, 36$, образующих с ним пифагорову тройку, а затем умножили все это на число $15^{14}$ и произвели соответствующие перестановки.
Можно умножить на $15^{1328}$

Могу другое: $105^{12} = (3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6) \cdot (3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6)$, откуда $105^{12} = \left(\frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6 + 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6}{2}\right)^2 + \left(\frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6 - 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6}{2}\right)^2$. Обе дроби целые, потому что оба сомножителя нечетные.

Все Ваши "упражнения" вкладываются в мои формулы. Вынесите за скобки общие делители и сократите на них всю формулу.
Кстати: в Вашей "формуле" между скобками должен быть минус, а не плюс.

-- 25.11.2017, 13:25 --

kotenok gav в сообщении #1268906 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268905 писал(а):

А также не "работает", если числа $n, m $ имеют общие делители.

Прекрасно работает.

Утверждаешь - делай!
Покажите как это делается.

[kotenok gav]

$8=2\times4$
$8=3^2-1^2$

[mihaild]

Svetlow в сообщении #1268905 писал(а):

не "работает", если $N=2k$, где $k$ нечетное число.

Прекрасно работает. Оно задаёт все пустое множество решений для данного случая.

Svetlow в сообщении #1268908 писал(а):

Все Ваши "упражнения" вкладываются в мои формулы.

Вопрос не в том, верны ли ваши результаты. Важно, что они неинтересны, потому что поставленную задачу решать умели ещё при динозаврах, и нет никаких преимуществ вашего решения перед классическим.

Svetlow в сообщении #1268908 писал(а):

Утверждаешь - делай!
Покажите как это делается.

Ваши формулы не проходят для $n$, где $n$ - минимальное число, для которого вы их ещё не расписали. Если не согласны - распишите их для этого числа, а потом перечитайте предыдущее сообщение ещё раз.
Если более серьезно - есть полное доказательство того, что эти формулы дают все решения. Оно не опирается на взаимную простоту делителей.
Если вы хотите утверждать, что для какого-то случая оно не работает - вам нужно либо явно привести пример решения, которое не получается по этим формулам, либо указать на ошибку в доказательстве. А отдельного доказательства для любого частного случая, который придет вам в голову, никто приводить не будет - это бессмысленно, раз есть общее.

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268899 писал(а):

Xaositect в сообщении #1268760 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268757 писал(а):

Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.

Что я Вам и говорю - Ваши теоремы были известны еще Ферма.

Уравнение:
$8=3^2-1^2$
это:
$2^3=3^2-1^2$
А это и не уравнение теоремы Ферма и не уравнение теоремы Пифагора.

Ну так Ферма не только теоремой Ферма занимался.

Письмо Ферма Мерсенну, 1643 писал(а):

Tout nombre impair non quarré est différent d'un quarré par un quarré, ou est la différence de deux quarrés, autant de fois qu'il est composé de deux nombres, et, si les quarrés sont premiers entre eux, les nombres compositeurs le sont aussi. Mais si les quarrés ont entre eux un commun diviseur, le nombre en question sera aussi divisible par le même commun diviseur, et les nombres compositeurs seront divisibles par le côté de ce commun diviseur.

Par exemple : 45 est composé de 5 et de 9, de 3 et de 15, de 1 et de 45. Partant, il sera trois fois la différence de deux quarrés : savoir de 4 et de 49, qui sont premiers entre eux, comme aussi sont les compositeurs correspondants 5 et 9 ; plus, de 36 et de 81, qui ont 9 pour commun diviseur, et les compositeurs correspondants, 3 et 15, ont le côté de 9, savoir 3, pour commun diviseur ; enfin 45 est la différence de 484 et 529, qui ont 1 et 45 pour compositeurs correspondants.

II est fort aisé de trouver les quarrés satisfaisants, quand on a le nombre et ses parties, et d'avoir les parties lorsqu'on a les quarrés.

Cette proposition se trouve quasi tout par tout. On en pourrait quasi autant dire des pairements pairs, excepté 4, avec quelque petite modification.

В начале Ферма говорит про нечетные числа, что количество способов представить число в виде разности квадратов равно количеству способов разложить его на множители, и приводит пример. В третьем абзаце он говорит, что найти квадраты по множителям или множители по квадратам, очень просто (fort aisé). В последнем абзаце он говорит, что аналогичное утверждение (quasi autant - почти то же самое) можно сделать о числах, которые делятся на 4 (pairement pairs - четно-четные числа), кроме собственно 4.

-- Сб ноя 25, 2017 11:36:58 --

Svetlow в сообщении #1268899 писал(а):

Методика мною изложены, формулы для расчетов приведены.

Формулы правильные, с этим никто не спорит. Вам говорят, что они в одно действие получаются из вещей, известных настолько, что они стали школьными упражнениями.

-- Сб ноя 25, 2017 11:37:27 --

Svetlow в сообщении #1268908 писал(а):

Все Ваши "упражнения" вкладываются в мои формулы. Вынесите за скобки общие делители и сократите на них всю формулу.

Конечно, вкладываются. Ваши формулы - то же самое, что мои, я Вам это уже говорил.

Svetlow в сообщении #1268908 писал(а):

Кстати: в Вашей "формуле" между скобками должен быть минус, а не плюс.

Опечатка, извините.

-- Сб ноя 25, 2017 11:39:45 --

Svetlow в сообщении #1268899 писал(а):

Английский я не знаю, но приведенное в указанном источнике в самом начале содержит уравнение теоремы Пифагора:
$a^2+b^2=c^2$
Это уравнение не имеет алгебраического решения, если только не подставлять в него заведомо известные пифагоровы тройки.

Имеет, это решение также известно со времен Диофанта: $a = p(m^2 - n^2)$, $b = p\cdot 2mn$, $c = p(m^2 + n^2)$.

[Svetlow]

kotenok gav в сообщении #1268910 писал(а):

$8=2\times4$
$8=3^2-1^2$

И какие общие делители у чисел $8, 3, 1$ кроме $1$?

-- 25.11.2017, 13:50 --

Xaositect в сообщении #1268915 писал(а):

Имеет, это решение также известно со времен Диофанта: $a = p(m^2 - n^2)$, $b = p\cdot 2mn$, $c = p(m^2 + n^2)$.

Значит, и число $c$ делится на $p$.
А если $a, b, c$ взаимно простые числа?

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268918 писал(а):

А если $a, b, c$ взаимно простые числа?

То $p = 1$.

[Someone]

Svetlow в сообщении #1268905 писал(а):

не "работает", если $N=2k$, где $k$ нечетное число.

А Вы можете представить такое число разностью квадратов натуральных чисел? Продемонстрируйте!

Svetlow в сообщении #1268918 писал(а):

И какие общие делители у чисел $8, 3, 1$ кроме $1$?

1) А почему они должны быть?
2) Вы можете с помощью своих формул предъявить разложение числа $8$ в разность квадратов, где имелся бы общий делитель больше $1$?

[Svetlow]

mihaild в сообщении #1268912 писал(а):

не "работает", если $N=2k$, где $k$ нечетное число. Прекрасно работает. Оно задаёт все пустое множество решений для данного случая.

Покажите, как это делается.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Когда наконец закончится этот цирк? И товарищу ясно и чётко (а не намёками) скажут, что формулы, выводимые из школьных в одно действие (©выше), никакой математической новизны не имеют? Сейчас ведь и к Ферма придерётся, мол не все возможные варианты описал, или не в той форме как в первом сообщении, или буковки другие, или не на английском, или $N = 2 \mod 4$ не входит в список решений, или ...

Svetlow в сообщении #1268922 писал(а):

Покажите, как это делается.

Сначала это Вы покажите что не работают. Свои утверждения тоже надо доказывать, а не только лишь требовать такого от остальных.

[Svetlow]

Someone в сообщении #1268921 писал(а):

не "работает", если $N=2k$, где $k$ нечетное число. А Вы можете представить такое число разностью квадратов натуральных чисел? Продемонстрируйте!

Из моей третьей теоремы следует, что это невозможно.
Хотя Вы можете доказательно опровергнуть это утверждение.

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268925 писал(а):

Из моей третьей теоремы следует, что это невозможно.

В ваших теоремах вообще ничего не сказано про то, когда раложения не существует, только когда оно есть.

[Aritaborian]

(Dmitriy40)

Dmitriy40 в сообщении #1268924 писал(а):

Когда наконец закончится этот цирк?

Я такие топики обычно стремлюсь превратить в абсолютно бессмысленный балаган, но не нашёл, с чего начать. Тут всё формулы да формулы... А другие участники, видимо, чересчур корректны или не слишком задорны, что ли.

[Svetlow]

Xaositect в сообщении #1268926 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268925 писал(а):

Из моей третьей теоремы следует, что это невозможно.

В ваших теоремах вообще ничего не сказано про то, когда разложения не существует, только когда оно есть.

А зачем мне доказывать то, что не существует?

[Lia]

Svetlow
заблокирован как злостный клон. Сообщения будут удалены по мере возможности.