Теоремы о разности квадратов двух целых чисел

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268744 писал(а):

Что-то Вы избегаете примеров с числами, возведенными в степени.
А мои теоремы большей частью касаются как раз чисел, возведенных в любые, бесконечно большие степени: четные и нечетные.

Да пожалуйста: $4^2 = 8 \cdot 2$, откуда $4^2 = 5^2 - 3^2$. Или $15^{16} = (5 \cdot 15^8) \cdot (3 \cdot 15^7)$, откуда $15^{16} = \left(\frac{5 \cdot 15^8 + 3 \cdot 15^7}{2}\right)^2 - \left(\frac{5 \cdot 15^8 - 3 \cdot 15^7}{2}\right)^2 = (39 \cdot 15^7)^2 - (36 \cdot 15^7)^2$.

[gris]

Brukvalub в сообщении #1268753 писал(а):

Приведите примеры бесконечно больших четных и нечетных степеней.

Можно я? $3^{2\infty}; 3^{2\infty+1}$

[Svetlow]

Xaositect в сообщении #1268752 писал(а):

Нет, например, возьмем четное $8 = 4 \cdot 2$ и по этой формуле получим $8 = 3^2 - 1^2$.

Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268757 писал(а):

Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.

Что я Вам и говорю - Ваши теоремы были известны еще Ферма.

[Svetlow]

Xaositect в сообщении #1268754 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268744 писал(а):

Что-то Вы избегаете примеров с числами, возведенными в степени.
А мои теоремы большей частью касаются как раз чисел, возведенных в любые, бесконечно большие степени: четные и нечетные.

Да пожалуйста: $4^2 = 8 \cdot 2$, откуда $4^2 = 5^2 - 3^2$. Или $15^{16} = (5 \cdot 15^8) \cdot (3 \cdot 15^7)$, откуда $15^{16} = \left(\frac{5 \cdot 15^8 + 3 \cdot 15^7}{2}\right)^2 - \left(\frac{5 \cdot 15^8 - 3 \cdot 15^7}{2}\right)^2 = (39 \cdot 15^7)^2 - (36 \cdot 15^7)^2$.

Все это - искусственное построение.
Вы взяли число $15^2, рассчитали по моей формуле для него пару целых чисел $39, 36$, образующих с ним пифагорову тройку, а затем умножили все это на число $15^{14}$ и произвели соответствующие перестановки.
Можно умножить на $15^{1328}$
Потрясающий пример!

[wrest]

Svetlow
Так вы все-таки приведёте около 40 пар для числа 51051 или нет? Пока что вы привели четыре...
Очень хочется увидеть ваши формулы, так сказать, "в работе"

[provincialka]

Люди! Друзья! Участники форума! Давайте уже кончать общаться с этим ТС. Циклим ведь... Не забудьте про Элемент 79
Ну не хочет он отдать "свои" теоремы! Амфибиогенная асфиксия замучала

Svetlow, я вот что вам посоветую. Найдите в сети какое-нибудь агентство, которое дает звания, награды и т.п. Пусть они вам выправят сертификат, что именно вы -- автор этих формул! Что-нибудь этакое, в золотой рамочке. Повесите на стенку. Думаю, недорого выйдет...

А нам, пожалуйста, головы не морочьте

-- 24.11.2017, 21:54 --

Svetlow У меня к вам ещё такое предложение! Почему вы только катет задаете? Найдите все пифагоровы тройки $a^2+b^2=c^2$ при фиксированном $c$.

-- 24.11.2017, 21:56 --

Svetlow в сообщении #1268774 писал(а):

А мои теоремы большей частью касаются как раз чисел, возведенных в любые, бесконечно большие степени: четные и нечетные.

А что, число, возведенное в степень -- это не число? Какая-то новая сущность?

[Xaositect]

Svetlow в сообщении #1268774 писал(а):

Вы взяли число $15^2, рассчитали по моей формуле для него пару целых чисел $39, 36$, образующих с ним пифагорову тройку, а затем умножили все это на число $15^{14}$ и произвели соответствующие перестановки.
Можно умножить на $15^{1328}$

Могу другое: $105^{12} = (3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6) \cdot (3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6)$, откуда $105^{12} = \left(\frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6 + 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6}{2}\right)^2 + \left(\frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6 - 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6}{2}\right)^2$. Обе дроби целые, потому что оба сомножителя нечетные.

[grizzly]

provincialka в сообщении #1268778 писал(а):

Не забудьте про Элемент 79

Можно я ещё приведу одну формулу напоследок? Мне с самого начала темы казалось, что это должно быть сложно -- записать одной формулой количество представлений. Оказалось, что да -- сколько-то сложно, но не настолько (формулу нашёл здесь, 0 участвует):

$$ s(n)=\frac12\left( d_0(n)+(-1)^{n+1}d_1(n)+\frac{1+(-1)^{d(n)+1}}{2} \right), \qquad d_i(n)=\sum\Limits_{d\mid n, d=i\bmod 2}1 $$

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Господа, как вы не поймете, Матерый Математище совершил Фундаментальнещее Открытие, и теперь борется за премию Абеля и свое Имя на Скрижалищах Математики, а вы грубо и бесцеремонно обламываете ему Кайфище!
Нельзя быть столь жестокими чудищами!

[Someone]

Svetlow в сообщении #1268757 писал(а):

Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.

А почему Вы удивляетесь? Способ настолько простой, что с ним могут разобраться шестиклассники. Почему бы и Вам не додуматься до него, если уж он Вам был неизвестен?

Только Вы почему-то думаете, что есть какая-то разница для чётных и для нечётных чисел, и что есть какая-то проблема для степеней. На самом деле способ во всех случаях один: заданное натуральное число $N$ всевозможными способами представляем произведением $N=mn$, $m<n$, натуральных чисел $m$ и $n$ одинаковой чётности и получаем всевозможные представления разностью квадратов:

$$N=\left(\frac{n+m}2\right)^2-\left(\frac{n-m}2\right)^2.$$

И всё. Эта формула содержит все возможные случаи и для чётных чисел, и для нечётных, и для любых степеней.
Ну, если хотите, можно выразить $n=\frac Nm$, подставить, поупрощать. Потом можно для случая $N$, кратного четырём, явным образом показать множитель $2$ в числе $m=2m'$, тоже поупрощать.
Потом всё это можно сформулировать как отдельные теоремы и долго спорить с множеством специалистов-математиков, добиваясь всемирного признания. Ну, некоторое время они будут убеждать Вас, что ничего нового Вы не открыли. Наконец, кому-нибудь из модераторов ваша неубеждаемость надоест, он снесёт тему в Пургаторий и запретит возобновлять обсуждение в любом виде. Оно Вам надо? Поверьте, никто не хочет украсть у Вас идею и опубликовать её под своим именем. Я бы, может быть, с удовольствием увидел свою фамилию как автора, например, статьи по общей топологии, но если я начну публиковать статьи на уровне задач для шестиклассников, коллеги решат, что я от старости совсем выжил из ума.

[tolstopuz]

Эта теорема - не просто часть математического фольклора, она опубликована в канадском журнале The Fibonacci Quarterly:

http://www.fq.math.ca/Papers1/46_47-4/Tripathi.pdf (Theorem 5)

В книге 1966 года Albert H. Beiler, Recreations in the theory of numbers автор тоже снизошел до полного описания алгоритма.

[Svetlow]

Xaositect в сообщении #1268760 писал(а):

Svetlow в сообщении #1268757 писал(а):

Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.

Что я Вам и говорю - Ваши теоремы были известны еще Ферма.

Уравнение:
$8=3^2-1^2$
это:
$2^3=3^2-1^2$
А это и не уравнение теоремы Ферма и не уравнение теоремы Пифагора.

-- 25.11.2017, 12:40 --

wrest в сообщении #1268776 писал(а):

Svetlow
Так вы все-таки приведёте около 40 пар для числа 51051 или нет? Пока что вы привели четыре...
Очень хочется увидеть ваши формулы, так сказать, "в работе"

Методика мною изложены, формулы для расчетов приведены.
Любой может заняться расчетами.
И если получится не $40$ пар, а иное число, то это не значит, что методика и формулы не верны.
У меня уже был аналогичный случай на одном из форумов.

-- 25.11.2017, 12:55 --

tolstopuz в сообщении #1268828 писал(а):

Эта теорема - не просто часть математического фольклора, она опубликована в канадском журнале The Fibonacci Quarterly:

http://www.fq.math.ca/Papers1/46_47-4/Tripathi.pdf (Theorem 5)

В книге 1966 года Albert H. Beiler, Recreations in the theory of numbers автор тоже снизошел до полного описания алгоритма.

Английский я не знаю, но приведенное в указанном источнике в самом начале содержит уравнение теоремы Пифагора:
$a^2+b^2=c^2$
Это уравнение не имеет алгебраического решения, если только не подставлять в него заведомо известные пифагоровы тройки. Или переписать его следующим образом:
$a^2=c^2-b^2$
Такое уравнение имеет алгебраическое решение, и оно приводит к моим формулам:
$c=\frac{a^2+d^2}{2d}$
$b=\frac{a^2-d^2}{2d}$
где: $a$ - заданное число; $d$ - делитель числа $a^2$

[tolstopuz]

Svetlow в сообщении #1268899 писал(а):

Английский я не знаю, но приведенное в указанном источнике в самом начале содержит уравнение теоремы Пифагора:

Спасибо за ценное наблюдение, но ваш ответ не по теме. Повторяю по буквам: T-h-e-o-r-e-m 5. Там в компактном виде собраны все ваши изыскания, а также посчитано количество решений. Если у вас есть желание, объясните журналу, чем ваша версия теоремы лучше уже опубликованной, пусть они жирным красным крестом зачеркнут старую версию и рядом напечатают новую.

[Svetlow]

Someone в сообщении #1268796 писал(а):

Только Вы почему-то думаете, что есть какая-то разница для чётных и для нечётных чисел, и что есть какая-то проблема для степеней. На самом деле способ во всех случаях один: заданное натуральное число $N$ всевозможными способами представляем произведением $N=mn$, $m<n$, натуральных чисел $m$ и $n$ одинаковой чётности и получаем всевозможные представления разностью квадратов:

$$N=\left(\frac{n+m}2\right)^2-\left(\frac{n-m}2\right)^2.$$

С вами с некоторой натяжкой можно согласиться, но уравнение:

$$N=\left(\frac{n+m}2\right)^2-\left(\frac{n-m}2\right)^2.$$

не "работает", если $N=2k$, где $k$ нечетное число.
А также не "работает", если числа $n, m $ имеют общие делители.