Олимпиада НГУ - 2017

[DeBill]

Находим центр масс верхнего полукруга (интегрированием, увы): он посередине, на расстоянии $\frac{4}{3\pi}$ от диаметра. Из подобия, находим координаты центра масс левого верхнего полукружка, и правого нижнего; массы их, соответственно, в 4 раза меньше массы полукруга. Считаем , что левый - из антиматерии (т.е., отрицательной массы), так что сумма трех полукругов и ест Янь; находим центр масс: он на высоте $\frac{1}{\pi}$ (а $x$ - координата и без того легко: масса серпа равна массе кружочка - проекция посредине меж центрами, значить).

[arqady]

bot в сообщении #1258023 писал(а):

3. Пусть $a, b, c >0.$ Докажите, что

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$$

AM-GM помогает:

$$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum_{cyc}\frac{2a}{2\sqrt{a(b+c)}}\geq\sum_{cyc}\frac{2a}{a+b+c}=2.$$

Ещё Гёлдер и Шур:

$$\sum_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}\right)^2\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)}{\sum_{cyc}a^2(b+c)}}\geq\sqrt{\frac{(a+b+c)^3}{\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)}}=$$

$$=\sqrt{\frac{\sum\limits_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)+3abc+4\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)}{\sum\limits_{cyc}a^2(b+c)}}>2$$

[DeBill]

Про ИньЯнь - можно без интегрирования.
Ясно, что достаточно найти центр масс серпа ( тогда центр Иня - посредине между центром серпа и кружочка, ибо равновелики они). Но он - на его оси симметрии, на расстоянии от горизонтали ($=$ оси вращения), которое равно объему тела вращения, деленному на площадь области, и на $2\pi$ (Теорема Штейнера?) . Т.к. объем равен объему шара минус два шарика (то бишь, $\frac{3}{4}$ от $\frac{4}{3}\pi$), а площадь равна $\frac{\pi}{4}$, то, поделив на $2\pi$, получим расстояние от оси до центра серпа, равное $\frac{2}{\pi}$.

(Оффтоп)

Вот токо теорема выводится интегрированием: при вращении элемента площади $dS$, отстоящего от оси на расстояние $r$, заметается объем $dV = 2\pi r dS$. Поэтому объем тела вращения равен $2\pi$, умноженному на момент фигуры относительно оси. Но он - момент - равен площади фигуры, умноженному на расстояние от центра масс до оси. ЧТД

[ewert]

DeBill в сообщении #1268746 писал(а):

Из подобия, находим координаты центра масс левого верхнего полукружка, и правого нижнего;

Это-то зачем? Надо просто усреднить вертикальную координату для серпа и для правого круга. Т.е. просто поделить пополам координату $y$ для серпа.

Последняя, в свою очередь, тоже находится безо всяких аннигиляций. Среднее между ней (равной, разумеется, координате для правого полусерпа) и координатой центра масс для верхнего правого полукруга -- это координата для верхней правой четверти большого круга: $\frac4{3\pi}=\frac12\left(y+\frac2{3\pi}\right)$.

Совсем без интегрирования -- да, никак (Штейнер или как его там попахивает мазохизмом). Но это интегрирование, если в полярных координатах, то проскакивает мгновенно. Да и в декартовых, в общем, тоже. Кроме того, это стандартная учебная задача (про полукруг или, что то же, про четверть круга).