2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 20:58 
Аватара пользователя
Svetlow в сообщении #1268744 писал(а):
Что-то Вы избегаете примеров с числами, возведенными в степени.
А мои теоремы большей частью касаются как раз чисел, возведенных в любые, бесконечно большие степени: четные и нечетные.
Да пожалуйста: $4^2 = 8 \cdot 2$, откуда $4^2 = 5^2 - 3^2$. Или $15^{16} = (5 \cdot 15^8) \cdot (3 \cdot 15^7)$, откуда $15^{16} = \left(\frac{5 \cdot 15^8 + 3 \cdot 15^7}{2}\right)^2 - \left(\frac{5 \cdot 15^8 - 3 \cdot 15^7}{2}\right)^2 = (39 \cdot 15^7)^2 - (36 \cdot 15^7)^2$.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 21:01 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #1268753 писал(а):
Приведите примеры бесконечно больших четных и нечетных степеней.

Можно я? $3^{2\infty}; 3^{2\infty+1}$

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 21:05 
Xaositect в сообщении #1268752 писал(а):
Нет, например, возьмем четное $8 = 4 \cdot 2$ и по этой формуле получим $8 = 3^2 - 1^2$.

Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 21:06 
Аватара пользователя
Svetlow в сообщении #1268757 писал(а):
Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.
Что я Вам и говорю - Ваши теоремы были известны еще Ферма.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 21:33 
Xaositect в сообщении #1268754 писал(а):
Svetlow в сообщении #1268744 писал(а):
Что-то Вы избегаете примеров с числами, возведенными в степени.
А мои теоремы большей частью касаются как раз чисел, возведенных в любые, бесконечно большие степени: четные и нечетные.
Да пожалуйста: $4^2 = 8 \cdot 2$, откуда $4^2 = 5^2 - 3^2$. Или $15^{16} = (5 \cdot 15^8) \cdot (3 \cdot 15^7)$, откуда $15^{16} = \left(\frac{5 \cdot 15^8 + 3 \cdot 15^7}{2}\right)^2 - \left(\frac{5 \cdot 15^8 - 3 \cdot 15^7}{2}\right)^2 = (39 \cdot 15^7)^2 - (36 \cdot 15^7)^2$.

Все это - искусственное построение.
Вы взяли число $15^2, рассчитали по моей формуле для него пару целых чисел $39, 36$, образующих с ним пифагорову тройку, а затем умножили все это на число $15^{14}$ и произвели соответствующие перестановки.
Можно умножить на $15^{1328}$
Потрясающий пример!

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 21:45 
Svetlow
Так вы все-таки приведёте около 40 пар для числа 51051 или нет? Пока что вы привели четыре...
Очень хочется увидеть ваши формулы, так сказать, "в работе" :!:

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 21:49 
Аватара пользователя
Люди! Друзья! Участники форума! Давайте уже кончать общаться с этим ТС. Циклим ведь... Не забудьте про Элемент 79
Ну не хочет он отдать "свои" теоремы! Амфибиогенная асфиксия замучала :wink:

Svetlow, я вот что вам посоветую. Найдите в сети какое-нибудь агентство, которое дает звания, награды и т.п. Пусть они вам выправят сертификат, что именно вы -- автор этих формул! Что-нибудь этакое, в золотой рамочке. Повесите на стенку. Думаю, недорого выйдет...

А нам, пожалуйста, головы не морочьте

-- 24.11.2017, 21:54 --

Svetlow У меня к вам ещё такое предложение! Почему вы только катет задаете? Найдите все пифагоровы тройки $a^2+b^2=c^2$ при фиксированном $c$.

-- 24.11.2017, 21:56 --

Svetlow в сообщении #1268774 писал(а):
А мои теоремы большей частью касаются как раз чисел, возведенных в любые, бесконечно большие степени: четные и нечетные.

А что, число, возведенное в степень -- это не число? Какая-то новая сущность?

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 22:09 
Аватара пользователя
Svetlow в сообщении #1268774 писал(а):
Вы взяли число $15^2, рассчитали по моей формуле для него пару целых чисел $39, 36$, образующих с ним пифагорову тройку, а затем умножили все это на число $15^{14}$ и произвели соответствующие перестановки.
Можно умножить на $15^{1328}$
Могу другое: $105^{12} = (3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6) \cdot (3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6)$, откуда $105^{12} = \left(\frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6 + 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6}{2}\right)^2 + \left(\frac{3^9 \cdot 5^7 \cdot 7^6 - 3^3 \cdot 5^5 \cdot 7^6}{2}\right)^2$. Обе дроби целые, потому что оба сомножителя нечетные.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 22:12 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #1268778 писал(а):
Не забудьте про Элемент 79
Можно я ещё приведу одну формулу напоследок? Мне с самого начала темы казалось, что это должно быть сложно -- записать одной формулой количество представлений. Оказалось, что да -- сколько-то сложно, но не настолько (формулу нашёл здесь, 0 участвует):
$$
s(n)=\frac12\left(
d_0(n)+(-1)^{n+1}d_1(n)+\frac{1+(-1)^{d(n)+1}}{2}
\right), \qquad d_i(n)=\sum\Limits_{d\mid n, d=i\bmod 2}1
$$

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 22:26 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Господа, как вы не поймете, Матерый Математище совершил Фундаментальнещее Открытие, и теперь борется за премию Абеля и свое Имя на Скрижалищах Математики, а вы грубо и бесцеремонно обламываете ему Кайфище! :D
Нельзя быть столь жестокими чудищами! :facepalm:

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение24.11.2017, 22:27 
Аватара пользователя
Svetlow в сообщении #1268757 писал(а):
Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.
А почему Вы удивляетесь? Способ настолько простой, что с ним могут разобраться шестиклассники. Почему бы и Вам не додуматься до него, если уж он Вам был неизвестен?

Только Вы почему-то думаете, что есть какая-то разница для чётных и для нечётных чисел, и что есть какая-то проблема для степеней. На самом деле способ во всех случаях один: заданное натуральное число $N$ всевозможными способами представляем произведением $N=mn$, $m<n$, натуральных чисел $m$ и $n$ одинаковой чётности и получаем всевозможные представления разностью квадратов: $$N=\left(\frac{n+m}2\right)^2-\left(\frac{n-m}2\right)^2.$$ И всё. Эта формула содержит все возможные случаи и для чётных чисел, и для нечётных, и для любых степеней.
Ну, если хотите, можно выразить $n=\frac Nm$, подставить, поупрощать. Потом можно для случая $N$, кратного четырём, явным образом показать множитель $2$ в числе $m=2m'$, тоже поупрощать.
Потом всё это можно сформулировать как отдельные теоремы и долго спорить с множеством специалистов-математиков, добиваясь всемирного признания. Ну, некоторое время они будут убеждать Вас, что ничего нового Вы не открыли. Наконец, кому-нибудь из модераторов ваша неубеждаемость надоест, он снесёт тему в Пургаторий и запретит возобновлять обсуждение в любом виде. Оно Вам надо? Поверьте, никто не хочет украсть у Вас идею и опубликовать её под своим именем. Я бы, может быть, с удовольствием увидел свою фамилию как автора, например, статьи по общей топологии, но если я начну публиковать статьи на уровне задач для шестиклассников, коллеги решат, что я от старости совсем выжил из ума.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение25.11.2017, 00:19 
Эта теорема - не просто часть математического фольклора, она опубликована в канадском журнале The Fibonacci Quarterly:

http://www.fq.math.ca/Papers1/46_47-4/Tripathi.pdf (Theorem 5)

В книге 1966 года Albert H. Beiler, Recreations in the theory of numbers автор тоже снизошел до полного описания алгоритма.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение25.11.2017, 12:31 
Xaositect в сообщении #1268760 писал(а):
Svetlow в сообщении #1268757 писал(а):
Это соответствует моем второй теореме для четных чисел, кратных $4$.
Что я Вам и говорю - Ваши теоремы были известны еще Ферма.

Уравнение:
$8=3^2-1^2$
это:
$2^3=3^2-1^2$
А это и не уравнение теоремы Ферма и не уравнение теоремы Пифагора.

-- 25.11.2017, 12:40 --

wrest в сообщении #1268776 писал(а):
Svetlow
Так вы все-таки приведёте около 40 пар для числа 51051 или нет? Пока что вы привели четыре...
Очень хочется увидеть ваши формулы, так сказать, "в работе" :!:

Методика мною изложены, формулы для расчетов приведены.
Любой может заняться расчетами.
И если получится не $40$ пар, а иное число, то это не значит, что методика и формулы не верны.
У меня уже был аналогичный случай на одном из форумов.

-- 25.11.2017, 12:55 --

tolstopuz в сообщении #1268828 писал(а):
Эта теорема - не просто часть математического фольклора, она опубликована в канадском журнале The Fibonacci Quarterly:

http://www.fq.math.ca/Papers1/46_47-4/Tripathi.pdf (Theorem 5)

В книге 1966 года Albert H. Beiler, Recreations in the theory of numbers автор тоже снизошел до полного описания алгоритма.

Английский я не знаю, но приведенное в указанном источнике в самом начале содержит уравнение теоремы Пифагора:
$a^2+b^2=c^2$
Это уравнение не имеет алгебраического решения, если только не подставлять в него заведомо известные пифагоровы тройки. Или переписать его следующим образом:
$a^2=c^2-b^2$
Такое уравнение имеет алгебраическое решение, и оно приводит к моим формулам:
$c=\frac{a^2+d^2}{2d}$
$b=\frac{a^2-d^2}{2d}$
где: $a$ - заданное число; $d$ - делитель числа $a^2$

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение25.11.2017, 13:06 
Svetlow в сообщении #1268899 писал(а):
Английский я не знаю, но приведенное в указанном источнике в самом начале содержит уравнение теоремы Пифагора:
Спасибо за ценное наблюдение, но ваш ответ не по теме. Повторяю по буквам: T-h-e-o-r-e-m 5. Там в компактном виде собраны все ваши изыскания, а также посчитано количество решений. Если у вас есть желание, объясните журналу, чем ваша версия теоремы лучше уже опубликованной, пусть они жирным красным крестом зачеркнут старую версию и рядом напечатают новую.

 
 
 
 Re: Теоремы о разности квадратов двух целых чисел
Сообщение25.11.2017, 13:08 
Someone в сообщении #1268796 писал(а):
Только Вы почему-то думаете, что есть какая-то разница для чётных и для нечётных чисел, и что есть какая-то проблема для степеней. На самом деле способ во всех случаях один: заданное натуральное число $N$ всевозможными способами представляем произведением $N=mn$, $m<n$, натуральных чисел $m$ и $n$ одинаковой чётности и получаем всевозможные представления разностью квадратов: $$N=\left(\frac{n+m}2\right)^2-\left(\frac{n-m}2\right)^2.$$

С вами с некоторой натяжкой можно согласиться, но уравнение:
$$N=\left(\frac{n+m}2\right)^2-\left(\frac{n-m}2\right)^2.$$
не "работает", если $N=2k$, где $k$ нечетное число.
А также не "работает", если числа $n, m $ имеют общие делители.

 
 
 [ Сообщений: 92 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group