Вычисление объёма тела

[ewert]

Батороев писал(а):

А еще можно добавить, что в сечениях "подушки" по диагоналям - эллипсы с осями $3$ и $3\sqrt 2$.

Можно. Но не нужно.

[Парджеттер]

Бодигрим писал(а):

Относительно элементарное решение задачи о пересечении двух цилиндров приведено у Гарднер М. — Математические досуги, с. 261-263. Так что в принципе могли и в школе дать.

Занимательно.

ckunep писал(а):

да вот именно, нужно интеграл использовать, только я не знаю какое уравнение нужно к этому интегралу

Ах интеграл... ну тогда это ж совершенно другое дело.

[ИСН]

Ещё интереснее получится тело, если пересечь три перпендикулярных цилиндра.
(В детстве я как-то чуть не сломал мозг, пытаясь его представить. Нарисовать тогда было не в чем.)

[Парджеттер]

ИСН писал(а):

Ещё интереснее получится тело, если пересечь три перпендикулярных цилиндра.
(В детстве я как-то чуть не сломал мозг, пытаясь его представить. Нарисовать тогда было не в чем.)

Можно было по точкам построить В начертательной геометрии есть такое дело...

[Батороев]

ИСН писал(а):

Ещё интереснее получится тело, если пересечь три перпендикулярных цилиндра.
(В детстве я как-то чуть не сломал мозг, пытаясь его представить. Нарисовать тогда было не в чем.)

По-видимому, получится соединение трех взаимно перпендикулярных "подушек", предварительно оцилиндрованных по диаметру.

[Архипов]

ckunep писал(а):

да я вообще не представляю как найти этот объём. учитель мне объяснил, что нужно через сечение, т.к. там образуется квадрат. Но я не знаю как уравнение составить.
П.С. вроде это уравнения для 3х мерного пространства.

Задачка не простая.
1. Начертить круг радиусом 3. В верхней части круга произвольно проведем горизонтальную хорду - текущую ширину прямоугольника, От концов этой хорды проведем две вертикальные хорды - текущая высота прямоугольника.
Итак, получили текущее сечение данной фигуры - прямоугольник (а не квадрат). Для упрощения будем интегрировать 1/8 часть объема этой симметричной фигуры, а дифференциал объема умножим на 8.
2, Теперь нужно составить дифференциал объема (а не уравнение) - произведение текущих ширины $x$, высоты $\sqrt{R^2-x^2}$, дифференциала толщины $dx$, умноженных на 8.
3. Проинтегрировать определенный интеграл в пределах $x$ {0-R}.

[ewert]

Архипов писал(а):

ckunep писал(а):

да я вообще не представляю как найти этот объём. учитель мне объяснил, что нужно через сечение, т.к. там образуется квадрат. Но я не знаю как уравнение составить.
П.С. вроде это уравнения для 3х мерного пространства.

Задачка не простая.

Задачка простая. Если, конечно, слушаться учителя. Он совершенно резонно сказал, что сечения лучше выбирать параллельными $XOZ$, в которых действительно получаются квадраты. Их размеры элементарно считаются, и брать придётся интеграл от всего-навсего квадратичного выражения.

[Архипов]

ewert писал(а):

Задачка простая. Если, конечно, слушаться учителя. Он совершенно резонно сказал, что сечения лучше выбирать параллельными , в которых действительно получаются квадраты. Их размеры элементарно считаются, и брать придётся интеграл от всего-навсего квадратичного выражения.

Можно и так, как Вы сказали. Но для доказательства квадратности сечения строить три проекции фигуры. А для доказательства прямоугольности сечения достаточно одной проекции.

[ewert]

Архипов писал(а):

Но для доказательства квадратности сечения строить три проекции фигуры.

Ни хрена себе. Составьте пару системок из неравенств, задающих цилиндры, и уравнения $y={\rm const}$ -- и получите ровно квадрат. Чиста аффтаматически.

[Архипов]

ewert писал(а):

Ни хрена себе. Составьте пару системок из неравенств, задающих цилиндры, и уравнения -- и получите ровно квадрат. Чиста аффтаматически.

Ну, вот. Еще и пару системок из неравенств составить. А геометрическое доказательство наглядно и совсем без уравнений. Хотя все способы доказательства равноправны.

[ewert]

а системки нужны исключительно для обоснования и без того очевидного факта

[Батороев]

Геометрическое обоснование квадратичности заключается лишь в том, что в "подушке" соединены четыре одинаковых части, выпиленных под углом $45^0$.