Векторное поле на сфере

[Nickspa]

Необходимо построить векторное поле без особых точек на нечетномерной сфере.

Решение у меня такое. Сфера находится в четномерном пространстве, поэтому каждой точке сферы $x = (x_1, x_2,..x_{2n})$ можно сопоставить вектор $v = (-x_2, x_1, -x_4, x_3 ...)$. То есть задать перпендикулярный вектор. Это, вроде, понятно. Но возникает необходимость доказать, что касательный вектор в данной точке сферы перпендикулярен радиус-вектору.

Нашел вот какое решение данного вопроса.
Гладкой кривой $h(t) = x+ty+...$ на сфере соответствует вектор $y$, для которого выполняется равенство $(x,y) = 0$. Действительно, из равенства $\left\lVert h(t) \right\rVert = 1 $ следует, что $\left\lVert x \right\rVert ^2 +t(x,y)+... =1$, поэтому $(x,y) = 0$.
И вот здесь вопросы. Правильно ли я понимаю, что рассматриваю касательный вектор как класс эквивалентных кривых? Беру кривую, раскладываю в ряд Тейлора, дифференцирую при нулевом $t$ и получаю $y$ как касательный вектор?
А дальше совсем непонятно. Что за норма кривой и почему она равна 1?

[kp9r4d]

Nickspa в сообщении #1267093 писал(а):

То есть задать перпендикулярный вектор. Это, вроде, понятно. Но возникает необходимость доказать, что касательный вектор в данной точке сферы перпендикулярен радиус-вектору.

Ну возьмите скалярное произведение.

[Nickspa]

Так касательного вектора у меня нет, чтобы брать скалярное произведение. Я и хочу доказать, что оно нулевое в случае n-мерной сферы.

[kp9r4d]

А, ну это ведь очевидно, и для этого не нужно было явно пути выписывать, но допустим так.

kp9r4d в сообщении #1267104 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что рассматриваю касательный вектор как класс эквивалентных кривых?

Да.

Nickspa в сообщении #1267093 писал(а):

А дальше совсем непонятно. Что за норма кривой и почему она равна 1?

Норма вектора $h(t)$ ($t$ уже применили), равна 1 по определению сферы.

[Nickspa]

Спасибо, про норму понял. Но остались вопросы:
1. Что за формула $\left\lVert x \right\rVert ^2 +t(x,y)+... =1$? Скалярный квадрат $ h(t) $?
2. Почему из неё следует равенство нулю второго слагаемого? Я понимаю, что норма х равна единице, но нулю равен весь оставшийся хвост, а не только второе слагаемое. А сумма может быть равна нулю не только для нулевых чисел. Видимо, что-то я упускаю.

[kp9r4d]

Nickspa
1) Да
$h(t) = h(0) + t h'(0) + o(t)$
$(h(t),h(t)) = 1$
подставьте выражение выже в выражение ниже.
2) Ну это для первого курса упражнение, пусть у вас есть функция $f : [-1..1] \to \mathbb{R}$ следующего вида $f(t) = a t + o(t), t \to 0$, и известно, что она тождественно равна 0, тогда чему равно $a$?