fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Векторное поле на сфере
Сообщение19.11.2017, 23:25 


09/12/16
146
Необходимо построить векторное поле без особых точек на нечетномерной сфере.

Решение у меня такое. Сфера находится в четномерном пространстве, поэтому каждой точке сферы $x = (x_1, x_2,..x_{2n})$ можно сопоставить вектор $v = (-x_2, x_1, -x_4, x_3 ...)$. То есть задать перпендикулярный вектор. Это, вроде, понятно. Но возникает необходимость доказать, что касательный вектор в данной точке сферы перпендикулярен радиус-вектору.

Нашел вот какое решение данного вопроса.
Гладкой кривой $h(t) = x+ty+...$ на сфере соответствует вектор $y$, для которого выполняется равенство $(x,y) = 0$. Действительно, из равенства $\left\lVert h(t) \right\rVert = 1 $ следует, что $\left\lVert x \right\rVert ^2 +t(x,y)+... =1$, поэтому $(x,y) = 0$.
И вот здесь вопросы. Правильно ли я понимаю, что рассматриваю касательный вектор как класс эквивалентных кривых? Беру кривую, раскладываю в ряд Тейлора, дифференцирую при нулевом $t$ и получаю $y$ как касательный вектор?
А дальше совсем непонятно. Что за норма кривой и почему она равна 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на сфере
Сообщение20.11.2017, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Nickspa в сообщении #1267093 писал(а):
То есть задать перпендикулярный вектор. Это, вроде, понятно. Но возникает необходимость доказать, что касательный вектор в данной точке сферы перпендикулярен радиус-вектору.


Ну возьмите скалярное произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на сфере
Сообщение20.11.2017, 00:18 


09/12/16
146
Так касательного вектора у меня нет, чтобы брать скалярное произведение. Я и хочу доказать, что оно нулевое в случае n-мерной сферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на сфере
Сообщение20.11.2017, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
А, ну это ведь очевидно, и для этого не нужно было явно пути выписывать, но допустим так.
kp9r4d в сообщении #1267104 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что рассматриваю касательный вектор как класс эквивалентных кривых?

Да.
Nickspa в сообщении #1267093 писал(а):
А дальше совсем непонятно. Что за норма кривой и почему она равна 1?

Норма вектора $h(t)$ ($t$ уже применили), равна 1 по определению сферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на сфере
Сообщение20.11.2017, 01:45 


09/12/16
146
Спасибо, про норму понял. Но остались вопросы:
1. Что за формула $\left\lVert x \right\rVert ^2 +t(x,y)+... =1$? Скалярный квадрат $ h(t) $?
2. Почему из неё следует равенство нулю второго слагаемого? Я понимаю, что норма х равна единице, но нулю равен весь оставшийся хвост, а не только второе слагаемое. А сумма может быть равна нулю не только для нулевых чисел. Видимо, что-то я упускаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Векторное поле на сфере
Сообщение20.11.2017, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Nickspa
1) Да
$h(t) = h(0) + t h'(0) + o(t)$
$(h(t),h(t)) = 1$
подставьте выражение выже в выражение ниже.
2) Ну это для первого курса упражнение, пусть у вас есть функция $f : [-1..1] \to \mathbb{R}$ следующего вида $f(t) = a t + o(t), t \to 0$, и известно, что она тождественно равна 0, тогда чему равно $a$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group