1. Сумма любых 1008 из данных 2017 действительных чисел не превосходит суммы остальных 1009 чисел.
Докажите, что все эти 2017 чисел неотрицательны.
Пусть

-- какое-нибудь из чисел,

-- сумма какой-либо половины оставшихся (неважно какой) и

-- сумма другой половины. Тогда по условию

и в то же время

.
2. Пусть

Докажите, что

и

не могут быть одновременно рациональны.
Надо просто представить

и тупо возвести его в куб. Тогда всё сведётся к невозможности равенства

(надеюсь, его не требовалось доказывать?)
4. Внутри параллелограмма

взяли точку

так, что

Пусть

и

середины

и

соответственно. Докажите, что прямая

перпендикулярна

.
Без векторов тут, наверное, не очень хорошо, а с векторами -- более-менее автоматически. Если

,

и

, то и

. Но это -- в точности высота в равнобедренном треугольнике

с основанием

.
5. Какое наименьшее значение может принять сумма

,
если

Можно считать, что

. Добавим в конец этой последовательности ещё одну единичку. Тогда на участке от начальной единички до сотни последовательность должна монотонно возрастать, на участке от сотни до завершающей единички -- убывать. Поскольку если хоть на одном из этих участков монотонность нарушится, то сумма модулей разностей по этому участку окажется больше девяноста девяти.