2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему
 
 И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение18.09.2016, 01:03 
Аватара пользователя


01/12/11
6092
Нацерет-Иллит
Для каких $n\in\mathbb{N}$ существует $n$ попарно различных натуральных чисел, произведение которых является шестой степенью натурального числа, и сумма — тоже?

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение18.09.2016, 16:07 
Заслуженный участник


10/01/16
1435
Ну, если $n$ кратно шести - легко: возьмем шесть шестых степеней, да и домножим каждое на пятую степень их суммы ...

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение19.09.2016, 13:42 


26/08/11
1675
Для всех $n\ne 2$
Если существует для $k$, то существует и для $k+3$ чисел. Пусть

$\sum\limits_{i=1}^k a_i=u^6$

$\prod\limits_{i=1}^k a_i=v^6$

добавляем числа $4608u^6,5184u^6,5832u^6$

Новая сумма будет $u^6(1+4608+5184+5832)=5^6\cdot u^6$

Новое произведение: $72^6\cdot v^6\cdot u^{18}$

$n=1$ - тривиально

$n=3:\quad 784,3969,112896$

$n=5:\quad 1,16,108,2000,13500$

например.

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение19.09.2016, 14:51 
Аватара пользователя


01/12/11
6092
Нацерет-Иллит
Shadow
Большое спасибо!

А почему для $n=2$ нельзя?

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение19.09.2016, 17:08 


26/08/11
1675
Ktina в сообщении #1152677 писал(а):
А почему для $n=2$ нельзя?
Сводится к большой теореме Ферма.
$\begin{cases} xy=u^3\\x+y=v^3\end{cases}$

Взаимнопростыми, понятно, быть не могут. Пусть $p$ - их общий простой делитель:

$x=p^ka,\;y=p^tb,\; k\le t$

$x+y=p^k(a+p^{t-k}b)=v^3$

Отсюда либо $k$ делится на 3, либо $t=k$, тоесть , все равно делится на 3, т.к $t+k=2k$ делится на 3.

Значит, наибольший общий делитель $x,y$ является кубом: $x=m^3a,y=m^3b,\gcd(a,b)=1$ и опять сводится к теореме Ферма.

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение20.09.2016, 00:26 
Аватара пользователя


07/01/16
178
Shadow в сообщении #1152655 писал(а):
Если существует для $k$, то существует и для $k+3$ чисел.
Очень красиво, по-моему!

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение20.09.2016, 22:42 
Аватара пользователя


01/12/11
6092
Нацерет-Иллит
Shadow
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение16.11.2017, 05:54 


21/05/16
1043
Аделаида
Shadow в сообщении #1152709 писал(а):
Пусть $p$ - их общий простой делитель:

$x=p^ka,\;y=p^tb,\; k\le t$

$x+y=p^k(a+p^{t-k}b)=v^3$

Отсюда либо $k$ делится на 3, либо $t=k$, тоесть , все равно делится на 3, т.к $t+k=2k$ делится на 3.

А если у $x$ и $y$ НОД не степень простого числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение16.11.2017, 16:20 


26/08/11
1675
kotenok gav в сообщении #1265685 писал(а):
А если у $x$ и $y$ НОД не степень простого числа?
А я и не писал (больше года занад) что их НОД - степень простого числа. $p$ - их любой потенциальный общий простой делитель. Раз он участвует в произведене: $(p+k)\; \vdots\; 3$, то он будет участвовать и в сумме. В какой степени?
Доказывал, что в каноническом разложении чисел $x \text { и } y$ все их общие простые делители должны быть в степени, кратные 3. И ВТФ не избежать.

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение16.11.2017, 16:22 


21/05/16
1043
Аделаида
Тогда откуда это:
Shadow в сообщении #1152709 писал(а):
Отсюда либо $k$ делится на 3, либо $t=k$, тоесть , все равно делится на 3, т.к $t+k=2k$ делится на 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение16.11.2017, 16:33 


26/08/11
1675
$x=p^ka,\;y=p^tb$

a не делится на p, b не делится на p

Будет ли делится на p выражение $(a+p^{t-k}b)$, где $t\ge k$

Если да, то в каких случаях?

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение16.11.2017, 16:39 


21/05/16
1043
Аделаида
А, понял.
А тогда откуда это:
Shadow в сообщении #1152709 писал(а):
Значит, наибольший общий делитель $x,y$ является кубом: $x=m^3a,y=m^3b,\gcd(a,b)=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение16.11.2017, 16:56 


26/08/11
1675
kotenok gav в сообщении #1265799 писал(а):
А тогда откуда это:
Не обращайте на это внимание. Раз в каноническом разложении чисел x и y все их общие простые делители входят в степени, кратные 3 (необщие - тоже, если $xy=u^3$) то обе числа - кубы и тогда уравнение $x+y=v^3$ не имеет решений.

Их НОД - тоже куб, вас наверное заблудило то, что я использовал те же буквы: $a,b$

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение16.11.2017, 16:57 


21/05/16
1043
Аделаида
Спасибо за разьяснения!

 Профиль  
                  
 
 Re: И сумма, и произведение - шестая степень
Сообщение16.11.2017, 17:09 


26/08/11
1675
Не за что, наверное и я мог более ясно тогда выложить. Например: докажем, что в каноническом разложении обеих чисел любое простое входит в степень, кратная трем. От противного:
Пусть $x=p_1^{3k-1}\cdots,\;\;y=p_1^{3n+1}\cdots$ так как $xy$ есть куб

Тогда $x+y=\cdots$

Противоречие

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group