И сумма, и произведение - шестая степень

[Ktina]

Для каких $n\in\mathbb{N}$ существует $n$ попарно различных натуральных чисел, произведение которых является шестой степенью натурального числа, и сумма — тоже?

[DeBill]

Ну, если $n$ кратно шести - легко: возьмем шесть шестых степеней, да и домножим каждое на пятую степень их суммы ...

[Shadow]

Для всех $n\ne 2$
Если существует для $k$, то существует и для $k+3$ чисел. Пусть

$\sum\limits_{i=1}^k a_i=u^6$

$\prod\limits_{i=1}^k a_i=v^6$

добавляем числа $4608u^6,5184u^6,5832u^6$

Новая сумма будет $u^6(1+4608+5184+5832)=5^6\cdot u^6$

Новое произведение: $72^6\cdot v^6\cdot u^{18}$

$n=1$ - тривиально

$n=3:\quad 784,3969,112896$

$n=5:\quad 1,16,108,2000,13500$

например.

[Ktina]

Shadow
Большое спасибо!

А почему для $n=2$ нельзя?

[Shadow]

Ktina в сообщении #1152677 писал(а):

А почему для $n=2$ нельзя?

Сводится к большой теореме Ферма.
$\begin{cases} xy=u^3\\x+y=v^3\end{cases}$

Взаимнопростыми, понятно, быть не могут. Пусть $p$ - их общий простой делитель:

$x=p^ka,\;y=p^tb,\; k\le t$

$x+y=p^k(a+p^{t-k}b)=v^3$

Отсюда либо $k$ делится на 3, либо $t=k$, тоесть , все равно делится на 3, т.к $t+k=2k$ делится на 3.

Значит, наибольший общий делитель $x,y$ является кубом: $x=m^3a,y=m^3b,\gcd(a,b)=1$ и опять сводится к теореме Ферма.

[waxtep]

Shadow в сообщении #1152655 писал(а):

Если существует для $k$, то существует и для $k+3$ чисел.

Очень красиво, по-моему!

[Ktina]

Shadow
Большое спасибо!

[kotenok gav]

Shadow в сообщении #1152709 писал(а):

Пусть $p$ - их общий простой делитель:

$x=p^ka,\;y=p^tb,\; k\le t$

$x+y=p^k(a+p^{t-k}b)=v^3$

Отсюда либо $k$ делится на 3, либо $t=k$, тоесть , все равно делится на 3, т.к $t+k=2k$ делится на 3.

А если у $x$ и $y$ НОД не степень простого числа?

[Shadow]

kotenok gav в сообщении #1265685 писал(а):

А если у $x$ и $y$ НОД не степень простого числа?

А я и не писал (больше года занад) что их НОД - степень простого числа. $p$ - их любой потенциальный общий простой делитель. Раз он участвует в произведене: $(p+k)\; \vdots\; 3$, то он будет участвовать и в сумме. В какой степени?
Доказывал, что в каноническом разложении чисел $x \text { и } y$ все их общие простые делители должны быть в степени, кратные 3. И ВТФ не избежать.

[kotenok gav]

Тогда откуда это:

Shadow в сообщении #1152709 писал(а):

Отсюда либо $k$ делится на 3, либо $t=k$, тоесть , все равно делится на 3, т.к $t+k=2k$ делится на 3.

[Shadow]

$x=p^ka,\;y=p^tb$

a не делится на p, b не делится на p

Будет ли делится на p выражение $(a+p^{t-k}b)$, где $t\ge k$

Если да, то в каких случаях?

[kotenok gav]

А, понял.
А тогда откуда это:

Shadow в сообщении #1152709 писал(а):

Значит, наибольший общий делитель $x,y$ является кубом: $x=m^3a,y=m^3b,\gcd(a,b)=1$

[Shadow]

kotenok gav в сообщении #1265799 писал(а):

А тогда откуда это:

Не обращайте на это внимание. Раз в каноническом разложении чисел x и y все их общие простые делители входят в степени, кратные 3 (необщие - тоже, если $xy=u^3$) то обе числа - кубы и тогда уравнение $x+y=v^3$ не имеет решений.

Их НОД - тоже куб, вас наверное заблудило то, что я использовал те же буквы: $a,b$

[kotenok gav]

Спасибо за разьяснения!

[Shadow]

Не за что, наверное и я мог более ясно тогда выложить. Например: докажем, что в каноническом разложении обеих чисел любое простое входит в степень, кратная трем. От противного:
Пусть $x=p_1^{3k-1}\cdots,\;\;y=p_1^{3n+1}\cdots$ так как $xy$ есть куб

Тогда $x+y=\cdots$

Противоречие