Задача на синхронные колебания

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1264605 писал(а):

Вот только $x$ не является бесконечно малой при заданной длине доски.

Бесконечно малыми бывают последовательности, а колебания бывают малыми. Так вот малые колебания ,выписанной выше, линейной системы удовлетворяют нелинейной системе с точностью до членов второго порядка малости. Т.е. ровно тот смысл, который обычно в малые колебания и вкладывается

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1264598 писал(а):

$$\ddot x+g\varphi=0,\quad J\ddot\varphi+mgx=0$$

Однако, это - правильная линеаризация, если $m$ - бесконечно малая того же порядка малости, что и $\varphi_0$

[pogulyat_vyshel]

Думаю, что общаться с вами дальше это пустая трата времени

profrotter:
Замечание за бессодержательное сообщение.

(Подробно)

Forum Administration в сообщении #27356 писал(а):

I. Нарушения и санкции
1) Нарушением считается:
ж) Оффтопик, флуд, троллинг, размещение заведомо бессодержательных сообщений и тем, увод дискуссии в сторону от основного обсуждения, размещение большого числа сообщений в пределах одной темы подряд. Создание тем в стиле личного блога, не предполагающих обсуждения какого-либо вопроса. Искусственное поднятие темы бессодержательными сообщениями.

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1264609 писал(а):

Бесконечно малыми бывают последовательности

Последовательность некоторого параметра $\varepsilon$, по которому раскладываются остальные величины в ряд Тейлора. Для корректной линеаризации этих уравнений нужно принять, что $\varphi=O(\varepsilon)$, $m=O(\varepsilon)$, остальные величины, включая период колебаний, являются некоторыми конечными величинами (что, кстати, для периода ещё нужно бы доказать, так как производные по времени оказываются бесконечно малыми того же порядка малости только для колебаний некоторого конечного периода).

По условию, доска "длинная", а груз кладётся на её край, а, значит, при колебаниях доски с грузом $x_0$ вместе с $x$ являются конечными величинами, не стремящимися к нулю при устремлении к нулю $\varepsilon$.

Если $m$ имеет только нулевой порядок малости по $\varepsilon$, А $\varphi$, $\dot\varphi$ и $\ddot\varphi$ - первый, то тогда при линеаризации уравнения $$(J+mx^2)\ddot\varphi+2mx\dot x\dot \varphi+mgx\cos\varphi=0$ мы получаем несовместное уравнение.

Да, и уменьшение массы грузика не должно делать период колебаний конечным, так как при малых начальных отклонениях доски ускорение грузика вдоль доски не зависит от его массы, и при устремлении начального отклонения доски к нулю оно, тоже устремляется к нулю. А доска остаётся такой же длинной.

[realeugene]

Итак, допустим, колебания в рассматриваемом приближении, действительно, гармонические: $x=x_0\cos\omega t$, $\varphi=\varphi_0\cos\omega t$. Тогда $\ddot x=-\omega^2x$ и, подставляя $\ddot x$ в первое уравнение ($\ddot x-x\dot\varphi^2+g\sin\varphi=0$), которое не зависит от $m$, и, считая $\varphi$ малым, а период колебаний большим, получаем уравнение $\varphi=\omega^2x/g$, в частности, $\varphi_0=\omega^2x_0/g$, или $T=\pi\sqrt{\frac{2l}{\varphi_0 g}}$. Таким образом, период колебаний, действительно, должен неограниченно возрастать при уменьшении начального угла отклонения доски $\varphi_0$.

Разберёмся, теперь, с массой грузика, обеспечивающего такие колебания. Из второго уравнения $(J+mx^2)\ddot\varphi+2mx\dot x\dot \varphi+mgx\cos\varphi=0$. Масса грузика должна уменьшаться при уменьшении начального отклонений доски. Пусть $m=O(\varphi_0)$. Тогда $-J\omega^2\varphi_0\cos\omega t+mgx_0\cos\omega t=0$, откуда $m=\frac{J\omega^2\varphi_0}{gx_0}=4J\varphi_0^2/l^2=M\varphi_0^2/3$. Таким образом, масса грузика, на самом деле, должна стремиться к нулю пропорционально квадрату начального угла наклона доски.

[pogulyat_vyshel]

Я считаю, что естественнее ставить вопрос о частоте малых колебаний системы в окрестности равновесия $x=0,\varphi=0$. В такой постановке ответ следвующий: квадрат частоты малых колебаний равен $g\sqrt{m/J}$

[amon]

realeugene,
Тут,как я понимаю, логика такая. Точка $x=0,\dot{x}=0,\varphi=0,\dot{\varphi}=0$ - точка стационарности системы

$$\ddot x-x\dot\varphi^2+g\sin\varphi=0,\quad (J+mx^2)\ddot\varphi+2mx\dot x\dot \varphi+mgx\cos\varphi=0.$$

($x$ отсчитывается от центра доски, $\varphi$ - от горизонтали.) Если эта точка устойчива, то система будет спокойно вокруг нее колебаться. Что бы это выяснить чуть отклоним систему от точки стационарности. Тогда при небольших временах $x,\dot{x},\varphi,\dot{\varphi}$ можно считать малыми, и линеаризовать систему:

$$\ddot x+g\varphi=0,\quad J\ddot\varphi+mgx=0.$$

Характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет 4 корня - два вещественных и два мнимых. Т.е. если в начальный момент мы точно "сели" на решение с мнимыми корнями, то некоторое время мы на нем проживем, сделав пару-тройку колебаний, но, поскольку система первого порядка имеет еще два вещественных корня, один из которых положителен, то это решение, если мой склероз меня не подводит, неустойчиво по какой-то из теорем Ляпунова. Если вру - pogulyat_vyshel меня поправит в свойственной ему мягкой и тактичной манере.

[realeugene]

amon,
описываемая вами логика исследования малых колебаний в окрестности стационарной точки обычна и естественна, но условие этой задачи всё же иное.

[realeugene]

fred1996,
не пришло ли время сообщить официальное решение, подразумевавшееся авторами этой задачи?

[fred1996]

realeugene
Так собственно я уже и опубликовал начало решения.
Есть два линеаризованных дифура по $\theta$ и $x$
В предположении, что они изменяются гармонически и синхронно можно подобрать такое соотношение масс, при котором это будет справедливо. Здесь параметр малости - это амплитуда изменения угла $\theta$. А $x$ просто получается линейно связан с ним.
Как правильно отметил pogulyat_vyshel, речь идет совсем не о бесконечно малых колебаниях, а просто о малых колебаниях, для которых можно достаточно точно сосчитать частоту. Ну и очевидно, что колебания неустойчивы. То есть при сколь угодно малой амплитуде $\theta_0$ всегда найдется такое большое число колебаний, после которых система пойдет вразнос.
Хто задачка из финального тура одной всеамериканской олимпиады. И ее составители совсем не мудрствовали с точными доказательствами. Потому как интуитивно итак понятно, что там происходит.

[realeugene]

fred1996,
так всё же, подразумевали ли составители задачи уменьшение массы грузика с уменьшением угла?
Мне всё ещё кажется, что вы с pogulyat_vyshel всё-таки понимаете термин "малые колебания" по разному.

[fred1996]

realeugene
Так а вы сосчитайте.
Задайте амплитуду угловых колебаний и увидите, что масса грузика уменьшается.
Посмотрите исходное задание. Для заданных $\theta_0$, $L$ и $g$ найти $m/M$ и $\omega$
В ответе $m/M$ уменьшается с уменьшением $\theta_0$

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1265500 писал(а):

В ответе $m/M$ уменьшается с уменьшением $\theta_0$

Но это совершенно точно не то, что имел в виду pogulyat_vyshel. И корректность такой формулировки задачи сомнительна. По крайней мере, такие колебания обычно не называются малыми, так как есть переменная (координата грузика), которая при колебаниях изменяется немало.

[fred1996]

realeugene
Это всего лишь оптический обман.
Возьмите вертикальное смещение грузика. Оно будет маленьким.
В любой физической задаче всегда можно найти какие-то обобщенные координаты, которые будут меняться немало. Например какие-нибудь проекции. В этой задаче малый параметр - угловая амплитуда и малая переменная - угловое отклонение. Остальные переменные к ним жестко привязаны.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1265567 писал(а):

Это всего лишь оптический обман.

Нет. Горизонтальная координата грузика меняется значительно.

fred1996 в сообщении #1265567 писал(а):

В любой физической задаче всегда можно найти какие-то обобщенные координаты, которые будут меняться немало.

Нет. Любые непрерывные функции от мало меняющейся величины сами обязательно изменяются мало.