Задача на синхронные колебания

[fred1996]

Имеется длинная однородная доска массы $M$ в виде качелей.
То есть она закреплена в центре и может без трения колебаться вокруг горизонтальной оси.
На доску можно положить грузик массы $m<<M$
Грузик может передвигаться без трения по доске.
Один край доски чуток приподняли и положили на него грузик. При определенном соотношении масс доски и грузика система может совершать малые гармонические колебания. Найти частоту этих колебаний и отношение масс грузика и доски

[AnatolyBa]

Предполагается ли знание уравнения Лагранжа?
Длина доски видимо должна быть также задана. У меня в формулу для частоты она вошла.
Хотя для соотношения масс - нет.

[fred1996]

Нет.
Лагранж не требуется.
Из соображений размерности действительно длина доски должна входить.

[AnatolyBa]

Можно и без него, но сложнее.
Меня интересует уровень олимпиады

[fred1996]

Поскольку это уже второй вопрос, связанный с американскими школьными олимпиадами, сейчас напишу про них поподробнее в общем физическом разделе.

[fred1996]

Посмотрел задачки, для которых так и не дали решения. Неужели данная задача не под силу местным зубрам? Или наоборот, слишком проста?
Еще раз. Длина однородной доски $L$
Угловая амплитуда малых колебаний $\theta_0$
Найти соотношение масс $m/M$, при которых возможно синхронное гармоническое колебание доски вокруг точки равновесия и движение грузика по доске из одного конца доски в другой.
Ну и найти эту частоту.

[pogulyat_vyshel]

Пусть $x$ -- координата вдоль доски точки массой $m$, отсчитываемая от середины доски; $\varphi$ -- угол наклона доски к горизонтали. Линеризуем уравнения движения в окрестности $x=0,\quad \varphi=0$. Ищем частное решение полученной системы вида $x=const\cdot \varphi$. Из двух возможных значений этой константы выбираем то для которого получатся гармонические колебания

-- 11.11.2017, 21:55 --

В порядке "алаверды": доказать, что похожее периодическое решение имеется в честной нелинейной системе

[fred1996]

На самом деле важно только требование малость амплитуды $\theta_0$
Маленький грузик двигается из конца в конец.

-- 11.11.2017, 14:05 --

pogulyat_vyshel
Ну а ваша задача решается из из общих соображений.
Пусть нам задан начальный угол $\theta_0$
Если положить очень маленький грузик, то он проскочит середину палки и уедет достаточно далеко. И остановится при малом угле отклонения палки. Меньше $\theta_0$
Если масса достаточно большая, грузик остановится при угле большем $\theta_0$. То есть угол первого останова есть непрерывная возрастающая функция массы грузика. Нам надо подобрать массу, при которой грузик остановится ровно при угле $\theta_0$. Это и будет то что нужно. В силу закона сохранения энергии.
Далее процесс симметрично повторяется.

Правда даже если максимальный угол отклонения с другой стороны отличен от $\theta_0$, груз обратно поедет симметричным образом и достигнет этого угла $\theta_0$ опять.
То есть колебание периодическое, но с различной правой и левой амплитудами.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1264541 писал(а):

На самом деле важно только требование малость амплитуды $\theta_0$
Маленький грузик двигается из конца в конец.

выложите, пожалуйста, полное решение вашей задачи

[fred1996]

Пусть у нас в данный конкретный момент расстояние грузика до центра $x$
Угол наклона доски $\theta$
Тогда уравнение для движения грузика при малых углах:
1. $a=-g\theta$
Уравнение движения доски:
2. $I\alpha=-mgx$ или $\frac{1}{12}ML^2\alpha=-mgx$
То есть получается, что оба ускорения перекрестным образом линейны по соответствующим отклонениям.

Теперь мы предполагаем, что и движение груза, и вращение доски суть синхронные гармоничесие колебания.
Тогда:
$x=\frac{L}{2}\sin(\omega t)$
$\theta=\theta_0\sin(\omega t)$

Остается пару раз продифференцировать оба уравнения и подставить все выражения в Уравнения 1.-2.
Откуда получаются соотношения масс и частота $\omega$

[fred1996]

fred1996 в сообщении #1264541 писал(а):

Правда даже если максимальный угол отклонения с другой стороны отличен от $\theta_0$, груз обратно поедет симметричным образом и достигнет этого угла $\theta_0$ опять.
То есть колебание периодическое, но с различной правой и левой амплитудами.

Тут вышла очевидная лажа.
Когда доска отклоняется максимальным образом, грузик не обязан остановиться.
То есть никакого синхронного колебания не будет.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1183537 писал(а):

Один край доски чуток приподняли и положили на него грузик. При определенном соотношении масс доски и грузика система может совершать малые гармонические колебания. Найти частоту этих колебаний и отношение масс грузика и доски

При любом отношении масс грузика и доски период малых колебаний бесконечный.

Малые колебания - это колебания в пределе нулевой амплитуды колебаний, при фиксированных всех остальных параметрах системы. Что есть в данной задаче амплитуда колебаний, которую можно было бы устремить к нулю? Длина доски фиксирована, её куда-либо устремлять не получится. Малым может быть только начальный угол отклонения доски от горизонтали. Но чем меньше этот начальный угол - тем меньше потенциальная энергия системы (которая, кстати, линейна по углу отклонения). И тем меньше скорость вращения доски и линейная скорость грузика при проскоке грузиком центра доски. Но кинетическая энергия малых колебаний равна потенциальной. Значит, скорость грузика при проскоке центра стремится к нулю при стремлении к нулю начального отклонения. Но длина доски фиксирована, и амплитуда движения грузика по доске равна половине длины доски (как начальное условие), значит, период движения грузика по доске стремится к бесконечности при устремлении амплитуды малых колебаний к нулю.

Ещё одна задача, в которой порядок взятия пределов важен.

UPD: чтобы траектории колебаний системы были замкнутыми, масса грузика, тоже, должна устремляться к нулю при устремлении отклонения к нулю. Но изменение параметров системы недопустимо при рассмотрении малых колебаний. Похоже, для каждого набора параметров системы существует своя замкнутая неустойчивая траектория движения со своим определённым начальным отклонением.

[pogulyat_vyshel]

Уравнения движения системы следующие

$$\ddot x-x\dot\varphi^2+g\sin\varphi=0,\quad (J+mx^2)\ddot\varphi+2mx\dot x\dot \varphi+mgx\cos\varphi=0.$$

Откуда видно , что линеризовывать уравнения только по $\varphi$ не выйдет из-за члена $2mx\dot x\dot \varphi$. Однако, если линеризовывать стандартным образом:

$$\ddot x+g\varphi=0,\quad J\ddot\varphi+mgx=0$$

то такая система действительно имеет решение с гармоническими колебаниями

[AnatolyBa]

(Оффтоп)

Судя по моему участию в этой теме, я эту задачу решал, но абсолютно ничего не помню, ужас какой-то. Надо полагать, я исходил из функции Лагранжа

$$\frac{I \dot{\varphi}^2}{2}+\frac{m \dot{x}^2}{2}-mgx\varphi =$$

$$\frac{I}{4}(\dot{\varphi}+\sqrt{\frac{m}{I}}\dot{x})^2+\frac{I}{4}(\dot{\varphi}-\sqrt{\frac{m}{I}}\dot{x})^2-\frac{g\sqrt{I m}}{4}(\varphi+\sqrt{\frac{m}{I}}x)^2+\frac{g\sqrt{I m}}{4}(\varphi-\sqrt{\frac{m}{I}}x)^2$$

Отсюда уже все ясно

[realeugene]

pogulyat_vyshel в сообщении #1264598 писал(а):

Однако, если линеризовывать стандартным образом:

Вот только $x$ не является бесконечно малой при заданной длине доски.

-- 12.11.2017, 10:42 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1264598 писал(а):

$$\ddot x-x\dot\varphi^2+g\sin\varphi=0,\quad (J+mx^2)\ddot\varphi+2mx\dot x\dot \varphi+mgx\cos\varphi=0$$

С этими уравнениями согласен.
Это точные уравнения движения, полученные из правильного лагранжиана

$$L=\frac{J\dot \varphi^2}{2}+\frac{m\left( \dot x^2 + x^2\dot\varphi^2\right)}{2}-mgx\sin\varphi$$

Начальные условия движения:

$$x=x_0=l/2,\quad\varphi=\varphi_0$$